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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:42 Di 02.11.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Seien X1 und X2 zwei unabhängige diskrete Zufallsvariable mit P[X1 = k] =
c * [mm] 3^{-k} [/mm] und P[X2 = k] = d * [mm] 4^{-k}, [/mm] für k [mm] \in \IN, [/mm] wobei X1,X2 [mm] \in \IN [/mm] fast sicher gelte. Dabei gehöre 0
nicht zur Menge [mm] \IN.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die Konstanten c und d.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt X1 = X2? |
Hallo liebe Matheraumler,
Kann mir bitte jemand den Begriff Zufallsvariable erklären? Danke.
Wäre auch nett, wenn einer von euch mir mal einen Tipp gibt, wie man an die Aufgabe herangehen kann.
Viele Dank im Voraus.
Viele Grüße
Felix
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Huhu,
> Kann mir bitte jemand den Begriff Zufallsvariable
> erklären? Danke.
so formal ist das jetzt schwer. Da könnte man jetzt ne halbe Stunde tippen und wär immer noch nicht fertig. Besser wäre es hier zu wissen, was genau du nicht verstehst.
D.h. schreib du doch mal alles auf, was du über ZV weißt und wo du Probleme hast.
Den Anfang mach ich mal mit:
"Eine ZV ist eine meßbare Abbildung zwischen zwei Messräumen."
> Wäre auch nett, wenn einer von euch mir mal einen Tipp
> gibt, wie man an die Aufgabe herangehen kann.
Betrachte mal:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} [/mm] P[X=k]$
Was weisst du darüber und warum?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo Gono,
Danke, dass du mir wieder hilfst.
> "Eine ZV ist eine meßbare Abbildung zwischen zwei
> Messräumen."
>
Zv nennen wir sie T bildet das Intervall [0,1] auf die reellen Zahlen ab, wobei die Urbilder außerhalb des gegebenen Intervalls =0 gesetzt werden.
Und dann hörts bei meinem Verständnis auch schon auf.
> Betrachte mal:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} P[X=k][/mm]
>
> Was weisst du darüber und warum?
genau daran liegt mein Problem, auf was bezieht sich das Maß? Auf [mm] \Omega_2
[/mm]
dann gilt nämlich [mm] P_2 [/mm] (A) = [mm] P_1 (T^{-1}(A)) [/mm] wobei T dann die Zufallsvariable ist. Richtig?
Viele Grüße
Felix
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Huhu,
na dann wollen wir mal vorne anfangen. Nehmen wir uns eine Abbildung zwischen zwei Messräumen (d.h. erstmal haben wir noch kein Maß):
$T: \left(\Omega_1, \mathcal{F}_1\right) \to \left(\Omega_2, \mathcal{F}_2\right)$
dann gibt es ja messbare Mengen $A_2 \subset \Omega_2$, nämlich gerade die Elemente von \mathcal{F}_2, d.h. $A_2 \in \mathcal{F}_2$
Niemand hält uns davon ab, jetzt mal das Urbild einer solchen messbaren Menge $A_2 \in \mathcal{F}_2 zu betrachten, d.h. wir schauen uns $T^{-1}(A_2)$ an und stellen erstmal nur fest, dass es eine Teilmenge von \Omega_1 ist, d.h es gilt $T^{-1}(A_2) \subset \Omega_1$.
Im allgemeinen jedoch (also für beliebige Abbildungen T) können wir keine weitere Aussage über das Urbild machen.
Anders sieht das ganze bei Zufallsvariablen aus, denn dort weiß man, dass das Urbild einer messbaren Menge in \Omega_1 selbst wieder eine messbare Menge in \Omega_2 ist, d.h. das gilt:
$T^{-1}(A_2) \in \mathcal{F}_1$.
Umgekehrt beschreibt diese Eigenschaft auch schon eine ZV, d.h. es gilt:
T ist ZV $\gdw T^{-1}(A_2) \in \mathcal{F}_1$
wenn das für alle messbaren Mengen A_2 aus \Omega_2 gilt.
So, nun wissen wir schonmal, was allgemein eine meßbare Funktion ist.
Haben wir nun auf \Omega_1 noch ein Maß \IP_1 definiert, so haben wir ja einen Maßraum und für jedes A_1 \in \mathcal{F}_1 macht der Ausdruck $\IP(A_1)$ Sinn und ist wohldefiniert.
Sei T nun eine ZV daraus, wir haben also:
$T: \left(\Omega_1, \mathcal{F}_1\right, \IP_1) \to \left(\Omega_2, \mathcal{F}_2\right)$
Für jedes Element A_1 aus \mathcal{F}_1 macht nun also der Ausdruck \IP(A_1) Sinn und da T eine Zufallsvariable ist, gilt für jedes $A_2 \in \mathcal{F}_2$, dass
$T^{-1}(A_2) \in \mathcal{F}_1$
d.h. es macht Sinn $\IP\left(T^{1}(A_2) \in \mathcal{F}_1\right)$ zu betrachten und dieser Ausdruck ist wohldefiniert.
Da obiger Ausdruck eindeutig zu lang zum Schreiben ist, schreibt man in der Mathematik dafür öfter auch folgende Ausdrücke:
$\IP\left(T^{-1}(A_2) \in \mathcal{F}_1\right) = (\IP\circ T^{-1})(A_2) = \IP^T(A_2) = \IP(T \in A_2)$
(Achtung: $T \in A_2$ ist also nichts anderes, als das Urbild von A_2 !)
Man kann zeigen, dass $\IP\circ T^{-1}$ ein Maß auf \mathcal{F}_2 definiert.
Den Beweis kannst du ja als Übung hier mitposten.
Um auf deine letzte Frage
> genau daran liegt mein Problem, auf was bezieht sich das Maß? Auf $ \Omega_2 $
> dann gilt nämlich $ P_2 $ (A) = $ P_1 (T^{-1}(A)) $ wobei T dann die Zufallsvariable ist. Richtig?
Bedenke, dass du $P(X=2)$ auch schreiben kannst als $P(X \in {2})$ und was weisst du nun darüber? 
MFG;
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:59 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Ultio |
Vielen Dank, ich glaube jetzt beschäftige ich mich ein bisschen damit, dann klappt das schon.
Viele Grüße
Felix
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