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| Aufgabe | | Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable Y = [mm] \bruch{X-µ}{a}, [/mm] wobei die E(X) = µ und Var(X) = [mm] a^2 [/mm] |
Hallo!
Ich habe mal versucht den Erwartungswert und die Varianz von X in Y einzusetzen und komme auf folgendes:
Y = [mm] \bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(x)}}
[/mm]
[mm] \wurzel{Var(x)} [/mm] Y = X-E(X)
Aber von jetzt an weiß ich nicht mehr weiter. Hat jemand einen Tip wie ich das weiter lösen kann bzw. ob der Ansatz überhaupt brauchbar ist?
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Vielleicht hilft dir das:
[mm]E(X - E(X)) = E(X) - E(E(X)) [/mm]
Nun ist E(X) ja keine Zufallsvariable, hat also sich selbst als Erwartungswert. Was kommt dann 'raus? Was ändert sich, wenn ich das Ganze mit einer Konstanten (hier [mm]\bruch{1}{a}[/mm] ) multipliziere?
Als nächstes berechnest du die Varianz von (X - E(X)) - als erwartete quadratische Abweichung vom gerade berechneten Erwartungswert - und überlegst wieder was passiert, wenn man die Zufallsvariable mit einer Konstanten (wieder [mm]\bruch{1}{a}[/mm] ) multipliziert.
Ich wollte dir nicht einfach alles vorrechnen, ich kann's ja schon und du sollst 'was lernen...
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Ich kann dem leider nicht ganz folgen, habe es aber trotzdem nochmals versucht:
[mm] E(\bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{Var(X)}} [/mm] E(X - E(X)) = [mm] \bruch{1}{Var(X)} [/mm] (E(X) - E(E(X))) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{Var(X)}} [/mm] (E(X) - E(X)) = 0
Das Ergebnis erscheint mir jedoch nicht als richtig. Kannst du mir bitte nochmals weiterhelfen?
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Klar ist das richtig (nicht alles, was einfach ist, ist auch falsch  ).
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OK, danke, wieso ist aber der Erwartungswert vom Erwartungswert wieder der Erwartungswert, sollte es nicht so sein:
E(E(X)) = X und nicht E(E(X)) = E(X) ???
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Wie ich schon geschrieben habe, kommt es darauf an, was man vor sich hat. X ist eine Zufallsvariable also so etwas wie eine Abbildung. Das Bilden des Erwartungswerts wirkt darauf wie eine Linearform (sprich Integral). Das Ergebnis - also der Erwartungswert - ist schlicht das: ein Wert. Also ein Skalar. Wenn man den jetzt als konstante Zufallsvariable auffasst, kann man ihn nochmal durch die Schleife schicken, aber es kommt dabei kein anderer Wert mehr heraus. Der Erwartungswert nimmt seinen Wert mit Wahrscheinlichkeit 1 an und d.h. E(E(X)) = E(X).
Du solltest dir die Definitionen nochmal sehr genau anschauen...
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Ist die Varianz auch Null, oder?
[mm] Var(\bruch{X-µ}{a}) [/mm] = [mm] (1/a)^2 E(X-µ)^2 [/mm] = 0
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Di 20.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo und guten Abend,
2 Regeln zum Umgang mit der Varianz solltest du kennen:
Var(X - c) = Var(X), wenn c eine Konstante ist.
Das sollte auch unmittelbar einsichtig sein, denn die Konstante verschiebt ja nur alle Werte und ändert nichts daran, wie weit diese Werte "verstreut" sind.
Var(X/a) = Var(X) / a²
Das läßt sich auch nicht allzu schwer beweisen.
Damit sollte das gesuchte Ergebnis klar sein, oder?
LG
Will
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Danke! Dann bekomme ich Var(X) = 1, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Mi 21.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Danke! Dann bekomme ich Var(X) = 1, oder?
so ist es ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Will
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Sa 08.10.2011 | | Autor: | eichi |
> Ich kann dem leider nicht ganz folgen, habe es aber
> trotzdem nochmals versucht:
>
> [mm]E(\bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}})[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{Var(X)}}[/mm] E(X - E(X))
Sorry, dass ich den Thread nochmal aufwärme, aber ich finde die Aufgabe sehr interessant!
Mir ist bei diesem Lösungsweg einzig der erste Schritt nicht ganz klar.
Es sieht für mich so aus, als ob $ [mm] E(\bruch{1}{Var(X)}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{Var(x)} [/mm] $ ist.
Ist das auch so oder lese ich das falsch?
*update*
Klar, 1/Var(x) ist ja nichts anders als eine Konstante. Sorry!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Sa 08.10.2011 | | Autor: | Blech |
> Klar, 1/Var(x) ist ja nichts anders als eine Konstante. Sorry!
jo.
ciao
Stefan
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