Zufallsvar. und Dichten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
anbei habe ich eine Aufgabe zu Zufallsvariablen und Dichte.
Sei [mm]\xi[/mm] eine Zufallsvariable mit Dichte f und
[mm]\eta:=a \xi + b[/mm] (mit [mm]a, b \in \IR, a \not= 0)[/mm]
Zeige, dass [mm]\eta[/mm] ebenfalls eine Dichte besitzt und bestimme diese.
Leite die Dichte für [mm]\eta[/mm] her, falls:
1. [mm]\xi[/mm] auf dem Intervall [0,1] gleichverteilt ist
2. [mm]\xi[/mm] standardnormalverteilt ist mit [mm]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-x^2/2 \right)[/mm]
Zündene Idee hab ich zunächst keine. Vermutlich muss man zunächst eine Umkehrfunktion bestimmen.
[mm]\eta:= a \xi + b \Rightarrow \xi= \frac{\eta-b}{a}[/mm] Dieses Ding nenne ich dann [mm]\varphi(\eta) = \frac{\eta-b}{a}[/mm]
Daraus kann ich dann ein [mm]h(\eta)[/mm] bauen, mit:
[mm]h(\eta)=\frac{f \left(\varphi^{-1}(\eta) \right)}{\varphi' \left(\varphi^{-1}(\eta) \right)}[/mm]
Dieses [mm]h(\eta)[/mm] wäre dann die Dichte, oder?
Wäre nett, wenn mir das jemand bestätigen oder sagen könnte, was ich falsch gemacht hab.
Viele Grüsse,
Crispy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Di 06.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Crispy!
Mittels direkter Rechnung
[mm] $P(\eta \le [/mm] y)$
[mm] $=P(a\zeta [/mm] + b [mm] \le [/mm] y)$
$=P [mm] \left(\zeta \le \frac{y-b}{a} \right)$
[/mm]
$= [mm] \int\limits_{-\infty}^{\frac{y-b}{a}} f(x)\, [/mm] dx$
$= [mm] \int\limits_{- \infty}^y [/mm] f [mm] \left( \frac{x-b}{a} \right) \cdot \frac{1}{a}\, [/mm] dx$
kann man die Dichte von [mm] $\eta$ [/mm] unmittelbar ablesen:
$g(x) = [mm] \frac{1}{a} \cdot [/mm] f [mm] \left( \frac{x-b}{a} \right)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Di 06.12.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo Julius,
vielen Dank für deine einfache und unkomplizierte Lösung. Irgendwie habe ich noch diese Formel von oben im Kopf.
Dazu eine weitere kleine Frage:
Zufallsvariable U auf [0,1] gleichverteilt.
Zeige, dass die Zufallsvariable [mm]\xi =- \frac{\ln(U)}{a}[/mm] die Dichte [mm]f[/mm] hat mit [mm]f(x)=a \cdot \exp(-ax)[/mm] für [mm]x \ge 0[/mm] und sonst [mm]f(x)=0[/mm].
Da hab ich erst umgestellt [mm]U=\exp(-a\xi)[/mm] und dann diese Formel aus meinem ersten Beitrag verwendet.
[mm]f(x)=\frac{g(\varphi^{-1}(x))}{\varphi'(\varphi^{-1}(x))}[/mm]
(g bezeichne hier die Dichte von U.)
Lieg ich da auch wieder falsch, oder passt das diesmal.
Vielen Dank,
Crispy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Di 06.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Crispy!
Ja, das sollte mit der Formel auch gehen, aber ich zeige es lieber wieder direkt (dann sieht man wenigstens, was passiert  ):
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $P(\zeta \le [/mm] x)$
$= P [mm] \left( - \frac{\ln(U)}{a} \le x \right)$
[/mm]
$= [mm] P(\ln(U) \ge [/mm] -ax)$
$=P(U [mm] \ge e^{-ax})$
[/mm]
$=1 - [mm] e^{-ax}$
[/mm]
und daher:
$f(x) = [mm] \frac{d}{dx} P(\zeta \le [/mm] x) = [mm] ae^{-ax}$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Julius
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