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Hallo zusammen,
wie würdet ihr eine zufällige quadratische Matrix mit vollem Rang erzeugen? Ich hatte mir überlegt eine zufällige ![[]](/images/popup.gif) LR-Zerlegung zuerzeugen, welche per Definition eine quadratische invertierbare Matrix mit vollem Rang darstellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hast du einen bestimmten Grundkörper/-ring? Ansonsten würde ich wohl zufällig Matrizen erzeugen (d.h. Zufallswerte in eine Matrix eintragen) und immer prüfen, ob die Determinante 0 ist oder nicht.
Über [mm] \IQ, \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] sollte das ganz gut gehen, d.h. du brauchst nicht viele Matrizen zu testen. Das kann man z.B. so sehen: Du erzeugst dir eine zufällige erste Spalte. Diese ist fast sicher linear unahängig (d.h. ungleich der Nullvektor). Dann erzeugst du zufällig die 2. Spalte. Dass diese ein Vielfaches der ersten Spalte ist ist auch sehr unwahrscheinlich, da alle Einträge der 2. Spalte zufällig das gleiche Vielfache der ersten sein müssten. Das wird auch fast sicher nicht passieren. Das zieht sich so durch bis zur letzten Spalte.
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Hallo Teufel,
wenn ich einfach eine zufällige LR-Zerlegung über dem Körper [mm] \IR [/mm] erzeuge, dann spare ich mir doch die Überprüfung auf lineare Unabhängigkeit, oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 So 05.05.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, da sparst du dir die Berechnung der Determinante. Du musst aber dann dafür sorgen, dass auf den Diagonalen von $L$ und $R$ keine 0 steht, was aber auch kein Problem ist. Gegebenenfalls einfach wieder mehrere Dreiecksmatrizen erzeugen.
Ich weiß nur nicht genau, wie zufällig das Produkt von $L$ und $R$ dann ist. Also ob vielleicht nach der Multiplikation manche Matrizen mit höherer Wahrscheinlichkeit erscheinen als andere. Wenn das aber egal wäre, dann kannst du es auch mit der LR-Zerlegung machen. :)
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Bei deiner Methode würde man jede Basis aus der Menge der Basen mit gleicher Wahrscheinlichkeit ziehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 05.05.2013 | | Autor: | Teufel |
Nein also ich würde einfach immer komplett zufällige Matrizen ziehen und immer die Determinante ausrechnen. Dann ist die Matrix auf alle Fälle zufällig und man sollte nicht so viele Versuche brauchen, zumindest wenn der Grundring der Matrizen [mm] \IR [/mm] oder so etwas ist. Das mit dem Spaltenweisen vorgehen sollte nur etwas deutlicher machen, dass du vermutlich nicht so viel probieren musst, bis du eine passende Matrix gefunden hast.
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