Zufällig normalvert. Vektoren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:13 Do 14.10.2010 | | Autor: | Momo21 |
| Aufgabe | | Generate a random normally distributed vector X of dimension [1xI]. Generate additional (Gsize) randomly distributed vectors Yi. Define [mm] Zj=r⋅X+((1-r^2)^0.5)⋅Yj [/mm] with r random between 0.2 and 0.8. By multivariate normality, X and Zj have a correlation of r. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de
Leider bekomme ich es nicht hin, diese Matrix zu entwerfen. Es geht damit los, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich für X tatsächlich einfach zufällig einen Erwartungswert und eine Varianz aussuchen sollen (was für Matlab übrigens meiner Ansicht nach nicht möglich ist).
Des Weiteren geht für mich auch nicht definitiv hervor, ob sich die Elemente des Vektors X unterscheiden. Ich glaube allerdings, dass sie dies tun sollten.
Der dritte Punkt ist, dass mich die Indizes irritieren. Warum geht es einmal um Yi und dann um Yj. Da diese Anleitung mehrfach überarbeitet wurde, bin ich mit der Erklärung "Tippfehler" nicht so glücklich.
Und der letzte Punkt bezieht sich auf die multivariate Normalität. Da ich kein Matheprofi bin, sagt mir der ganze Ausdruck sowieso schon ziemlich wenig. Nun frage ich mich aber, ob ich daraus bzw. aus r auf die Art und Weise der Verteilung von X und Y schließen kann (sprich: ergibt sich aus der Korrelation irgendwie der Erwartungswert bzw. Standardabweichung)?
Es wär super, wenn jemand von euch zu Teilen - oder natürlich auch gerne zu allem - seine Meinung schreiben würde! Im Moment habe ich es so gemacht, dass ich die Elemente von X bzw. Y aus einer Standardnormalverteilung ziehe. Das steht aber halt eigentlich so nicht im Text.
Grüße und Danke im Voraus,
Momo
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Hallo Momo21,
> Generate a random normally distributed vector X of
> dimension [1xI]. Generate additional (Gsize) randomly
> distributed vectors Yi. Define [mm]Zj=r⋅X+((1-r^2)^0.5)⋅Yj[/mm]
> with r random between 0.2 and 0.8.
> By multivariate
> normality, X and Zj have a correlation of r.
Die Bedeutung dieses letzten Satzes ist leider auch mir nicht klar, aber eine Matrix nach den Vorgaben oben herzustellen, sollte mit folgendem Python-Programm möglich sein:
| 1: | from random import normalvariate, uniform
| | 2: |
| | 3: | Y, Z = list(), list()
| | 4: |
| | 5: | # beliebige natuerliche Werte
| | 6: | I, Gsize = 10, 7
| | 7: |
| | 8: |
| | 9: | r = uniform(0.2, 0.8)
| | 10: | X = [normalvariate(0,1) for k in range(I)] # ich habe mich hier für
| | 11: | # mu = 0 und sigma = 1
| | 12: | # entschieden, da man eine
| | 13: | # beliebige Normalverteilung
| | 14: | # sowieso auf eine
| | 15: | # Standardnormalverteilung
| | 16: | # zurueckfuehren kann
| | 17: | rX = [r*x for x in X]
| | 18: |
| | 19: | for j in range(Gsize):
| | 20: | Y.append([uniform(-34.4, 239) for k in range(I)]) # wieder beliebige Werte
| | 21: |
| | 22: |
| | 23: | for j in range(Gsize):
| | 24: | Z.append([rX[i] + (1-r**2)**0.5*Y[j][i] for i in range(I)])
| | 25: |
| | 26: |
| | 27: | # Ausgabe der Gsize x I - Matrix Z in LaTeX-Schreibweise
| | 28: |
| | 29: | f = open('bspmatrix.txt', 'w')
| | 30: | print("\\begin{pmatrix}", file=f)
| | 31: |
| | 32: | for j in range(Gsize-1):
| | 33: | for i in range(I-1):
| | 34: | print(Z[j][i], end = ' & ', file=f)
| | 35: | print(Z[j][I-1], end = '\\\\\n', file=f)
| | 36: |
| | 37: | for i in range(I-1):
| | 38: | print(Z[Gsize-1][i], end = ' & ', file=f)
| | 39: | print(Z[Gsize-1][I-1], file=f)
| | 40: |
| | 41: | print("\\end{pmatrix}", file=f)
| | 42: | f.close() |
Hier ist eine Beispielmatrix, die mit dem Programm erzeugt worden ist:
[mm] $\begin{pmatrix}
90.1819042497 & -10.4894622727 & 24.5757594664 & 86.0830733888 & 42.7897890853 & 96.6387982109 & -9.42001031518 & 17.6014118163 & 87.7372807031 & 1.5511721756\\
115.591986301 & 131.286629533 & 100.43218828 & -21.8139004358 & 121.219350821 & 127.186661316 & 110.69854455 & 13.34328137 & 41.2695078315 & 133.358699\\
32.2994788778 & 69.9312997647 & 24.8002149381 & 75.8350661046 & -19.883117445 & 37.8245144119 & 16.606345885 & -18.2923683744 & 68.2932626165 & 20.4796409359\\
132.153183515 & 53.5567725614 & 44.9733739203 & 41.8534384568 & 19.7314374256 & 100.119434535 & -20.4200531091 & 110.75043078 & 110.327672802 & -6.17287485363\\
7.12543011553 & 66.4808624085 & 135.076972581 & 77.3441793054 & 105.999947096 & 61.9559221229 & 144.244690811 & 53.6365840644 & 148.928162557 & 67.3618524337\\
133.873197534 & 15.6388142512 & 82.1158107409 & 46.81245183 & 122.816041096 & 107.776870574 & 122.730683507 & 108.315630687 & 42.7472411799 & 11.5893797778\\
38.6721308157 & 79.8710685106 & -15.6115790687 & 23.8813434399 & 32.3200214927 & 124.915882676 & 19.0773397373 & 99.6961749745 & 67.5775040661 & 90.2041949665
\end{pmatrix}$
[/mm]
Viele Grüße
Karl
P.S. Interessanterweise hat mein Programm auch genau ![[]](/images/popup.gif) 42 Zeilen. 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Fr 15.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Momo!
> Generate a random normally distributed vector X of
> dimension [1xI]. Generate additional (Gsize) randomly
> distributed vectors Yi. Define [mm]Zj=r⋅X+((1-r^2)^0.5)⋅Yj[/mm]
> with r random between 0.2 and 0.8. By multivariate
> normality, X and Zj have a correlation of r.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de
>
> Leider bekomme ich es nicht hin, diese Matrix zu entwerfen.
Meinst du mit Matrix, dass die [mm] $Z_j$ [/mm] die Spalten der Matrix sind?
> Es geht damit los, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich
> für X tatsächlich einfach zufällig einen Erwartungswert
> und eine Varianz aussuchen sollen (was für Matlab
> übrigens meiner Ansicht nach nicht möglich ist).
Ich finde, die Aufgabenstellung ist hier sehr unklar. Es kann sowoh gemeint sein, dass die Normalverteilung zufaellig gewaehlt werden soll, als auch dass ein Vektor zufaelilig bzgl. der (Standard-?)Normalverteilung gewaehlt werden soll.
> Des Weiteren geht für mich auch nicht definitiv hervor,
> ob sich die Elemente des Vektors X unterscheiden. Ich
> glaube allerdings, dass sie dies tun sollten.
Ich vermute, $X$ soll einer multivariaten Normalverteilung entsprechend verteilt sein; d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Eintraege gleich sind, ist 0.
> Der dritte Punkt ist, dass mich die Indizes irritieren.
> Warum geht es einmal um Yi und dann um Yj. Da diese
> Anleitung mehrfach überarbeitet wurde, bin ich mit der
> Erklärung "Tippfehler" nicht so glücklich.
Die Indices sind in Ordnung. Ob da ein $i$ oder $j$ steht spielt keine Rolle (solange nicht beides in der gleichen Formel bzw. im gleichen mathematischen Kontext auftaucht, aber das ist hier nicht der Fall).
> Und der letzte Punkt bezieht sich auf die multivariate
> Normalität.
Das soll bedeuten, dass alles aus einem Wahrscheinlichkeitsfeld stammt, welches Normalverteilt ist.
Oder etwas einfacher: du hast sozusagen im Hintergrund eine riesige multivariate Normalverteilung, und alle Normalverteilungen die du benutzt sind Teile von dieser multivariaten Normalverteilung.
Hier brauchst du davon die Eigenschaft, dass $X$ und [mm] $Y_j$ [/mm] unabhaengig sind; daraus kann man die Korrelation $r$ erhalten.
> Da ich kein Matheprofi bin, sagt mir der ganze
> Ausdruck sowieso schon ziemlich wenig. Nun frage ich mich
> aber, ob ich daraus bzw. aus r auf die Art und Weise der
> Verteilung von X und Y schließen kann (sprich: ergibt sich
> aus der Korrelation irgendwie der Erwartungswert bzw.
> Standardabweichung)?
Das haengt davon ab, ob man $r$ als Variabel oder als fest gewaehlt (aber zufaellig) betrachtet. Also sozuagen ob $E(r) = r$ oder $E(r) = festeZahl$ annimmt.
Die Aufgabenstellung ist auch hier alles andere als praezise.
Wenn $r$ als fest gewaehlt aufgefasst wird, ist [mm] $Z_j$ [/mm] wieder multivariat normalverteilt, mit Erwartungswert $r E(X) + [mm] \sqrt{1 - r^2} E(Y_j)$; [/mm] falls $X$ und [mm] $Y_j$ [/mm] die gleiche Verteilung haben, ist der Erwartungswert also $(r + [mm] \sqrt{1 - r^2}) [/mm] E(X)$. Ist $X$ standardnormalverteilt, so ist $E(X) = 0$.
Die Kovarianz von [mm] $Z_j$ [/mm] gilt [mm] $Cov(Z_j) [/mm] = [mm] r^2 [/mm] Cov(X) + (1 - [mm] r^2) Cov(Y_j)$ [/mm] (a $X$ und [mm] $Y_j$ [/mm] unabhaengig sind); falls $X$ und [mm] $Y_j$ [/mm] gleichverteilt sind, kommt also $Cov(Z) = Cov(X)$ heraus.
Weiterhin ist $Cov(X, [mm] Z_j) [/mm] = Cov(X, r X + [mm] \sqrt{1 - r^2} Y_j) [/mm] = r Cov(X) + [mm] \sqrt{1 - r^2} [/mm] Cov(X, [mm] Y_j) [/mm] = r Cov(X)$. Daraus folgt, dass die Korrelationsmatrix von $X$ und [mm] $Z_j$ [/mm] gleich $r$ mal die Einheitsmatrix ist -- womit die Korrelation gleich $r$ ist.
Anders gesagt: die Korrelation zwischen der $i$-ten Komponente von $X$ und der $k$-ten Komponente von [mm] $Z_j$ [/mm] ist gleich 0, falls $i [mm] \neq [/mm] k$ ist, und gleich $r$ falls $i = k$ ist.
Ich hoffe das hilft dir weiter...
LG Felix
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