Zielfunktion mehrdimensional < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zielfunktion [mm] f:\IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei definiert durch f(x,y,z) := x-y-z
Außerdem sei g(x,y,z) := [mm] (x^{2}+2y^{2}-1, 3x-4z)^T
[/mm]
Bestimmen Sie lokale und globale Extrema der Fkt f unter der Nebenbedingung g(x,y,z) = 0 und klassifizieren Sie diese. |
Hallo,
Bei dieser Aufgabenstellung habe ich meine gewissen Probleme, und zwar:
Wie kann man die Nebenbedingung mit der Funktion verknüpfen? Schließlich ist die Zielfunktion von f eindimensional, und von g ist sie 2-dim. Das verstehe ich nicht ganz. Ich habe es mal versucht, aber befürchte, dass ich komplett gescheitert bin.
Mit der Langrange - Funktion wusste ich nicht wie ich weiter rechnen soll. Ansatz:
[mm] L(x,y,z,\lambda) [/mm] = [mm] x-y-z+\lambda [/mm] * [mm] \vektor{x^{2}+2y^{2}-1\\3x-4z}
[/mm]
Ich weiß leider überhaupt nicht was ich damit anfangen soll.
Mit dem Einsetzverfahren habe ich es auch probiert:
Nach y auflösen: [mm] y=\vektor{\wurzel{\bruch{1-x^{2}}{2}}\\0}
[/mm]
Nach z auflösen: [mm] z=\vektor{0\\\bruch{3}{4}x}
[/mm]
In f(x,y(x),z(x))= x - [mm] \vektor{\wurzel{\bruch{1-x^{2}}{2}}\\0} [/mm] - [mm] \vektor{0\\\bruch{3}{4}x} [/mm] = f(x)
Nun die Frage, ob man die Vektoren auch eindimensional schreiben kann, da dort jeweils eine 0 vorkommt (warum man das dürfte, wenn überhaupt, würde ich auch gerne wissen)
Das abgeleitet ergibt:
f'(x) = 1 - [mm] \vektor{-\bruch{1}{2}\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}\\0} [/mm] - [mm] \vektor{0\\\bruch{3}{4}} [/mm] = 0
Dann habe ich die "0" einfach weggelassen, nach x aufgelöst und bekam
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{25}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{25}
[/mm]
Ich befürchte, das Ergebnis ist falsch.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte. Ich sitze schon ziemlich lange dran und komme nicht wirklich weiter.
Schon mal Danke im vorraus!
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Hallo,
> Zielfunktion [mm]f:\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR[/mm] sei definiert durch f(x,y,z)
> := x-y-z
> Außerdem sei g(x,y,z) := [mm](x^{2}+2y^{2}-1, 3x-4z)^T[/mm]
>
> Bestimmen Sie lokale und globale Extrema der Fkt f unter
> der Nebenbedingung g(x,y,z) = 0 und klassifizieren Sie
> diese.
> Hallo,
>
> Bei dieser Aufgabenstellung habe ich meine gewissen
> Probleme, und zwar:
> Wie kann man die Nebenbedingung mit der Funktion
> verknüpfen? Schließlich ist die Zielfunktion von f
> eindimensional, und von g ist sie 2-dim. Das verstehe ich
> nicht ganz. Ich habe es mal versucht, aber befürchte, dass
> ich komplett gescheitert bin.
> Mit der Langrange - Funktion wusste ich nicht wie ich
> weiter rechnen soll. Ansatz:
>
> [mm]L(x,y,z,\lambda)[/mm] = [mm]x-y-z+\lambda[/mm] * [mm]\vektor{x^{2}+2y^{2}-1\\3x-4z}[/mm]
Da steht doch Kokolores, das passt doch von den Dimensionen nicht zusammen, Äpfel und Birnen kann man nicht addieren 
Ich würde meinen, dass [mm]g(x,y,z)=\pmat{x^2+2x^2-1\\3x-4z}=\vektor{0\\0}[/mm] lediglich eine Kurzschreibweise dafür ist, dass du hier 2 Nebenbedingungen hast:
1) [mm]x^2+2y^2-1=0[/mm]
2) [mm]3x-4z=0[/mm]
Versuch's mal damit (Lagrange mit 2 Parametern [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] ansetzen ...)
>
> Ich weiß leider überhaupt nicht was ich damit anfangen
> soll.
> Mit dem Einsetzverfahren habe ich es auch probiert:
>
> Nach y auflösen:
> [mm]y=\vektor{\wurzel{\bruch{1-x^{2}}{2}}\\0}[/mm]
> Nach z auflösen: [mm]z=\vektor{0\\\bruch{3}{4}x}[/mm]
>
> In f(x,y(x),z(x))= x -
> [mm]\vektor{\wurzel{\bruch{1-x^{2}}{2}}\\0}[/mm] -
> [mm]\vektor{0\\\bruch{3}{4}x}[/mm] = f(x)
>
> Nun die Frage, ob man die Vektoren auch eindimensional
> schreiben kann, da dort jeweils eine 0 vorkommt (warum man
> das dürfte, wenn überhaupt, würde ich auch gerne
> wissen)
>
> Das abgeleitet ergibt:
>
> f'(x) = 1 -
> [mm]\vektor{-\bruch{1}{2}\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}\\0}[/mm] -
> [mm]\vektor{0\\\bruch{3}{4}}[/mm] = 0
>
> Dann habe ich die "0" einfach weggelassen, nach x
> aufgelöst und bekam
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{25}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{25}[/mm]
>
> Ich befürchte, das Ergebnis ist falsch.
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei dieser
> Aufgabe helfen könnte. Ich sitze schon ziemlich lange dran
> und komme nicht wirklich weiter.
> Schon mal Danke im vorraus! ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Das kleine "voraus" ist genauso genügsam wie "heraus" - ein "r" reicht aus ...
Gruß
schachuzipus
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Achso, vielen Dank, ich habe mir schon gedacht, dass ich da i.was verwechsle.
Ich hab es jetzt mit der Lagrange-Funktion mit zwei Nebenbedingungen versucht, ich komme auf die Partiellen Ableitungen:
[mm] \nablaL [/mm] = [mm] \vektor{1+2x\lambda+3\mu\\-1+4y\lambda\\-1-4\mu\\x^{2}+2y^{2}-1\\3x-4z} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0\\0\\0}
[/mm]
Das auflösen ergibt:
x= [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] y= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] z= [mm] -\bruch{1}{4} [/mm]
[mm] \lambda= \bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] \mu= -\bruch{1}{4}
[/mm]
Ich hoffe mal, dass das richtig ist.
So wie ich das verstehe, bedeutet das, dass das Extremum bei den x, y, z - Werten liegt, nicht wahr?
Und wie bestimme ich jetzt, ob es ein Min/Max ist?
Einfach die Hesse-Matrix machen und Eigenwerte überprüfen, oder funktioniert das bei 3-dim Funktionen anders?
Danke im voraus (diesmal richtig) 
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Die Hesse-Matrix wäre:
Hf = [mm] \pmat{2\lambda & 0 & 0\\ 0 & 4\lambda & 0\\ 0& 0 & 0}
[/mm]
Wenn man hier [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{3}{8} [/mm] einsetzt, und anschließend die Eigenwerte bestimmt, ergibt sich:
0 = [mm] (\bruch{3}{4}-\nu)*(\bruch{3}{2}-\nu)*(-\nu)
[/mm]
Ergibt die EW: [mm] \nu_{1} [/mm] = 0 [mm] \nu_{2}=\bruch{3}{4} \nu_{3} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Somit ist an dieser Stelle ein lokales Minimum.
Kann man das so machen?
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Hallo exwaldfee,
> Die Hesse-Matrix wäre:
>
> Hf = [mm]\pmat{2\lambda & 0 & 0\\ 0 & 4\lambda & 0\\ 0& 0 & 0}[/mm]
>
> Wenn man hier [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{3}{8}[/mm] einsetzt, und
> anschließend die Eigenwerte bestimmt, ergibt sich:
>
> 0 = [mm](\bruch{3}{4}-\nu)*(\bruch{3}{2}-\nu)*(-\nu)[/mm]
>
> Ergibt die EW: [mm]\nu_{1}[/mm] = 0 [mm]\nu_{2}=\bruch{3}{4} \nu_{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Somit ist an dieser Stelle ein lokales Minimum.
>
> Kann man das so machen?
Soviel ich weiß, muss es schon die ![[]](/images/popup.gif) geränderte Hessematrix sein.
Wie diese für den Fall einer Funktion mit 3 Variablen
und 2 Nebenbedingungen gebildet wird,
entzieht sich meiner Kenntnis.
Gruss
MathePower
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Hallo exwaldfee,
> Achso, vielen Dank, ich habe mir schon gedacht, dass ich da
> i.was verwechsle.
>
> Ich hab es jetzt mit der Lagrange-Funktion mit zwei
> Nebenbedingungen versucht, ich komme auf die Partiellen
> Ableitungen:
>
> [mm]\nablaL[/mm] =
> [mm]\vektor{1+2x\lambda+3\mu\\-1+4y\lambda\\-1-4\mu\\x^{2}+2y^{2}-1\\3x-4z}[/mm]
> = [mm]\vektor{0\\0\\0\\0\\0}[/mm]
>
> Das auflösen ergibt:
>
> x= [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] y= [mm]\bruch{2}{3}[/mm] z= [mm]-\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]\lambda= \bruch{3}{8}[/mm]
>
> [mm]\mu= -\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Ich hoffe mal, dass das richtig ist.
Ja, das ist richtig.
Es gibt aber noch eine andere Lösung.
> So wie ich das verstehe, bedeutet das, dass das Extremum
> bei den x, y, z - Werten liegt, nicht wahr?
> Und wie bestimme ich jetzt, ob es ein Min/Max ist?
> Einfach die Hesse-Matrix machen und Eigenwerte
> überprüfen, oder funktioniert das bei 3-dim Funktionen
> anders?
Im Zweifel in die Zielfunktion f(x,y,z) einsetzen.
> Danke im voraus (diesmal richtig)
Gruss
MathePower
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Gut, wenn ich die Werte in die Zielfunktion einsetze, bekomme ich f(x,y,z) = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] raus, aber trifft dies eine Aussage darüber ob es ein Min/Max ist?
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Hallo exwaldfee,
> Gut, wenn ich die Werte in die Zielfunktion einsetze,
> bekomme ich f(x,y,z) = [mm]-\bruch{3}{4}[/mm] raus, aber trifft dies
> eine Aussage darüber ob es ein Min/Max ist?
Das trifft natürlich keine Aussage, welcher Art das Extremum ist.
Sollte der zweite Werte verschieden von diesem Wert sein,
so kannst Du eine Aussage darüber treffen, welcher Wert
ein Maximum und welcher Wert ein Minimum ist.
Gruss
MathePower
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