Ziehen gleicher Kugeln < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Do 31.03.2005 | | Autor: | Javafrog |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe, darin geht es darum, daß man 100 nummerierte Kugeln hat. Nun soll man 10 dieser Kugeln ziehen, jedoch mit Zurücklegen. Die Frage lautet, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß sich darunter dann keine zwei gleiche Kugeln befinden.
Irgendwie komme ich mit meinen Ansätzen auf keinen grünen Zweig. Eine Idee war: die erste Kugel ist egal, danach darf man diese aber nicht mehr ziehen, also 99/100 "gute" Kugeln, danach 98, dann 97, bis zur letzten, wo es noch 91 "gute" gibt. Da kommt 63% raus, aber ich habe irgendwie kein gutes Gefühl dabei.
Es wäre toll, wenn mir nicht nur jemand die Lösung sagen könnte, sondern auch wie man sich das überlegen muß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Do 31.03.2005 | | Autor: | Max |
Dein Vorgehen ist aber richtig! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Ich komme auch auf 62,8%.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Do 31.03.2005 | | Autor: | Javafrog |
Hm =) ich konnte nicht glauben, daß das richtig war, denn diese Aufgabe war inmitten von lauter Aufgaben, wo man mit Kombinationen und Variationen arbeiten mußte.
Gibt es auch einen Weg über diese Konstrukte?
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Hi, Javafrog,
bin zwar kein Anhänger der "Begriffsmathematik", aber ich will trotzdem versuchen Deine Frage mit den von Dir gewünschten Begriffen in Verbindung zu bringen.
Zunächst die Mächtigkeit des Ergebnisraums Deines Experimentes (10-maliges Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 100 Kugeln mit Zurücklegen):
[mm] |\Omega| [/mm] = [mm] 100^{10} [/mm] = [mm] 10^{20}
[/mm]
Dies entspricht der "Anzahl der Variationen zu je 10 Elementen aus 100 verschiedenen Elementen MIT Wiederholung der Elemente"
bzw.
der "Anzahl der 10-Tupel aus einer 100-Menge mit Wiederholung der Elemente".
Nun die Mächtigkeit des Ereignisses A: "nur verschiedene Kugeln werden gezogen":
|A| = [mm] \bruch{100!}{(100-10)!} [/mm] = [mm] 6,28*10^{19} [/mm] (Hinweis: nPr-Taste des Taschenrechners)
Dies entspricht der "Anzahl der Variationen zu je 10 Elementen aus 100 verschiedenen Elementen OHNE Wiederholung der Elemente"
bzw.
der "Anzahl der 10-Permutationen aus einer 100-Menge".
Nun schließlich die gesuchte Wahrscheinlichkeit (mit Hilfe der Formel von Laplace):
P(A) = [mm] \bruch{|A|}{|\Omega|} [/mm] = 0,628.
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