Zerlegungssummen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Fee |
| Aufgabe | Für das Wachstum einer Hopfenpflanze wird folgende Modellannahme getroffen: Die Wachstumsgeschwibdigkeit w(t) ( in cm/Tag) steigt innerhalb von 40 Tagen linear von 0 auf 25.
a) Geben Sie einen Term für w(t) an. Zeigen Sie, dass man die Länege der Hopfenpflanze nach 40 Tagen mithilfe von Zerlegungssummen das Integral ausdrücken kann und berechnen Sie es.
b) Nach 40 Tagen nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit innerhalb von 30 Tagen linear auf 0 ab. Wie hoch wird die Pflanze insgesamt ? |
Hey meine Lieben !
Ich glaube, dass die Funktionsgleichung lautet: f(x)=25/40 * t, weil die Pflanze in 40Tagen bis zu 25 cm wächst. Ist das richtig ? es wird ja in cm/Tag gemessen. Aber wieso kann man das Wachstum mit Integralen ausdrücken ? Was hat das mit Flächenberechnung zu tun ? Vielleicht hat das was mit den Grenzwerten des Graphen zu tun ?
Wie geht man bei b) vor ???
Habt vielen Dank !!!
Eure liebe Fee
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Hallo,
> Für das Wachstum einer Hopfenpflanze wird folgende
> Modellannahme getroffen: Die Wachstumsgeschwibdigkeit w(t)
> ( in cm/Tag) steigt innerhalb von 40 Tagen linear von 0 auf
> 25.
>
> a) Geben Sie einen Term für w(t) an. Zeigen Sie, dass man
> die Länege der Hopfenpflanze nach 40 Tagen mithilfe von
> Zerlegungssummen das Integral ausdrücken kann und
> berechnen Sie es.
Steht das blau markierte wirklich wortwörtlich so da? Das ist eine etwas seltsame Aufgabenstellung, wie etwa: zeigen Sie, dass eine Woche 7 Tage hat...
> b) Nach 40 Tagen nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit
> innerhalb von 30 Tagen linear auf 0 ab. Wie hoch wird die
> Pflanze insgesamt ?
> Hey meine Lieben !
>
> Ich glaube, dass die Funktionsgleichung lautet: f(x)=25/40
> * t, weil die Pflanze in 40Tagen bis zu 25 cm wächst.
Bis auf die Tatsache, dass die Funktion w(t) heißt, ist das richtig.
> Aber wieso
> kann man das Wachstum mit Integralen ausdrücken ? Was hat
> das mit Flächenberechnung zu tun ? Vielleicht hat das was
> mit den Grenzwerten des Graphen zu tun ?
Die Berechnung von Flächen ist eine von vielen Anwendungen der Integralrechnung. Generell summiert man beim bestimmten Integral die unendlich vielen Funktionswerte im Integrationsintervall auf. Das ist nicht einfach zu verstehen, und man soll es auch nicht versuchen zu vereinfachen. Hier ist es so: die Funktion w(t) ist ja die Wachstumsgeschwindigkeit, das bestimmte Integral von 0 bis T ist dann die Höhe der Hopfenpflanze zum Zeitpunkt T.
> Wie geht man bei b) vor ???
Bei b) gehst du analog vor wie bei a). Du brauchst eine neue Funktion für die Wachstumsgeschwindigkeit und beim Integral musst du bedenken, dass du die in a) erreichte Höhe noch hinzuaddieren musst.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Fee |
Aber wie soll man bei a) zeigen, dass man die Länge der Hopfenpflanze als Integral ausdrücken kann ?
WIE zeigt man das ? Danke für die Hilfe :)
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Hallo,
wie schon gesagt: die Aufgabe ist seltsam formuliert. Es gibt verschiedene Möglichkeiten für Zerlegungssummen, ich weiß nicht mal, welchen Beackground du hast.
Es könnte hier so gemeint sein: wenn man eine lineare Funktion integrieren möchte, dann kan man das Integral auch exakt berechnen, indem man den Integrationsbereich in eine beliebige endliche Anzahl von äquidistanten Streifen zerlegt, deren Höhe man jeweils gleich dem Funktionswert in der Mitte des Streifens wählt. Es ist geometrisch sehr einfach zu argumentieren, warum dann das exakte Ergebnis herauskommt: die Driecke, die fehlen und die, die überstehen sind kongruent und es sind gleich viele.
Dass man hier generell die Höhe der Pflanze mit dem Integral der Wachstumsgeschwindigkeit bekommt, kann man nicht zeigen. Dies folgt doch direkt aus der Definition des Riemann-Integrals.
Na ja: Hopfen und Malz: Gott erhalt's (das ist der Hitze geschuldet). 
Gruß, Diophant
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Ja, du hast die richtige Formel gefunden. Sie gibt aber nicht die Höhe der Pflanze (nach 40 Tagen 24 cm) an, sondern die WachstumsGESCHWINDIGKEIT! Und deshalb ist die Aufgabe auch ganz richtig gestellt.
Am Ende des 40. Tages wächst die Pflanze so schnell, dass sie - wenn sich die Geschwindigkeit jetzt nicht mehr ändern würde - einen Tag später nochmals 25 cm größer würde als bisher. Am Anfang des 40. Tages ist diese Geschwindigkeit allerdings nur so hoch wie am Ende des 39. Tages, also [mm] \bruch{39}{40}*40 [/mm] cm/Tag.
Versuch jetzt noch mal, die Aufgabe unter diesem Aspekt zu lösen. Zur Kontrolle: Nach 40 Tagen hat die Pflanze eine Höhe von genau 5 m. In den nächsten 30 Tagen dann nochmals 3,75 m.
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