Zerlegungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Fr 22.07.2005 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich habe ein Problem mit Zerlegungen : Polarzerlegung, Iwasawa-Zerlegung.
und zwar: wenn ich eine Matrix oder eine Abbildung gegeben habe, wie gehe ich dann vor, um die Zerlegung zu finden ?
Liebe Grüße, Conny.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Fr 22.07.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Conny!
Hier mal ein "Rezept" für beide Zerlegungen:
Polarzerlegung:
Gegeben Martix a, gesucht n nicht negativ und b orthogonal, so dass gilt a=bn. (Existenz gilt nach VL)
Dann weißt du, dass [mm] a^t*a=(bn)^t*(bn)=n^t*b^t*b*n=n^t*(b^tb)*n=n^tn=n^2[/mm]
Die vierte Gleichheit folgt aus der Orthogonalität von b und die fünfte aus der Symmetrie von n (denn Positivität, Negativität usw. sind nur für symmetrische bzw. hermitesche Matrizen definiert).
Also berechnest du [mm]a^ta[/mm] und davon dann die Quadratwurzel (ist per Definiton nicht negativ), damit hast du n gefunden. Das invertierst du und multiplizierst [mm]n^{-1}[/mm] von rechts an a dran und erhälst so b. (Am besten zur Probe nochmal überprüfen, dass es auch wirklich orthogonal ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit dass du dich verrechnet hast recht gering  )
Iwasawa-Zerlegung:
Gegeben Matrix a, gesucht b orthogonal, t obere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonaleinträgen, so dass gilt a=tb. (Existenz wieder nach VL)
Hier nimmst du die Zeilenvektoren von a und orthonormierst sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren. Die daraus hervorgehenden Vektoren sind die Zeilen von b (b ist dann orthogonal, weil die Zeilen von b eine ONB bilden, Satz aus der VL). Dann noch b invertieren und [mm]b^{-1}[/mm] von rechts an a multiplizieren, dann erhälst du t.
Ich hoffe, das hilft dir weiter, wenn was unklar ist, frag nochmal nach ok?
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