Zerlegung von Polynomen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Di 05.02.2008 | | Autor: | jedi84 |
| Aufgabe | Stellen Sie die folgenden quadratischen Terme in der Form (x-a)(x-b) dar.
a) [mm] x^2+4
[/mm]
b) [mm] x^2+4i
[/mm]
c) [mm] x^2+4x+7 [/mm] |
Hallo zusammen,
bei der Aufgabe geht es offensichtlich um komplexe Zahlen, die Lösung von Teil a) dürftte sein
[mm] x^2+4=(x-2i)(x+2i)
[/mm]
Soweit kam ich durch Probieren. Zuvor habe ich Aufgaben in anderer Richtung bearbeitet (komplexe Zahlen in der Form z=a+bi darstellen), wobei a und b reelle Zahlen sind).
Hier fehlt mir leider jeder Ansatz. Gibt es da ein Schema, nachdem man solche Aufgaben bearbeiten kann?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo jedi,
> Stellen Sie die folgenden quadratischen Terme in der Form
> (x-a)(x-b) dar.
> a) [mm]x^2+4[/mm]
> b) [mm]x^2+4i[/mm]
> c) [mm]x^2+4x+7[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> bei der Aufgabe geht es offensichtlich um komplexe Zahlen,
> die Lösung von Teil a) dürftte sein
> [mm]x^2+4=(x-2i)(x+2i)[/mm]
>
> Soweit kam ich durch Probieren. Zuvor habe ich Aufgaben in
> anderer Richtung bearbeitet (komplexe Zahlen in der Form
> z=a+bi darstellen), wobei a und b reelle Zahlen sind).
>
> Hier fehlt mir leider jeder Ansatz. Gibt es da ein Schema,
> nachdem man solche Aufgaben bearbeiten kann?
Zerlege doch einfach das Polynom so:
[mm]\left ( x - \left (a+bi \right ) \right ) \ \left ( x - \left (a-bi \right ) \right )[/mm]
>
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 05.02.2008 | | Autor: | jedi84 |
Die Zerlegung hilft mir so leider nicht weiter. Wenn ich das ausmultipliziere komme ich auf [mm] x^2-2ax+a^2+b^2. [/mm] Damit hätte ich die Lösung von Aufgabe a) gefunden, da dann offensichtlich a=0 und b=2 sein muss.
Also folgt tatsächlich (x-0-2i)(x-0+2i). Also die Lösung, die ich durch Probieren auch gefunden habe.
Die dritte Aufgabe habe ich damit jetzt auch lösen können:
[mm] (x-2-\wurzel{3}i)(x-2+\wurzel{3}i)=x^2+4x+7
[/mm]
Was ich nur noch nicht weiß ist, wie man ein "i" behalten kann, so dass es durch die Multiplikation nicht verschwindet (in b) benötigt).
Soweit aber schonmal danke!
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Hi, jedi,
also ich würd' ja so rangehen:
[mm] x^{2} [/mm] + 4i = 0 <=> [mm] x^{2} [/mm] = -4i
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm 2*\wurzel{-i}
[/mm]
NR: [mm] \wurzel{-i} [/mm] = a + b*i
Daraus: -i = [mm] a^{2} [/mm] +2ab*i - [mm] b^{2}
[/mm]
Koeff.vgl.: [mm] a^{2} [/mm] - [mm] b^{2} [/mm] = 0 und 2ab = -1
Naja: Und daraus kannst Du a und b berechnen.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 05.02.2008 | | Autor: | jedi84 |
Wenn ich dich richtig verstanden habe, willst du die Nullstellen des Polynoms berechnen - hätte das in der Aufgabe gestanden, wäre mir eingiges klarer gewesen.
Das man als Ergebnis dann [mm] \pm2*\wurzel{-i} [/mm] bekommt, leuchtet auch noch ein. Dann drückst du [mm] \wurzel{-i} [/mm] in der Form z=a+bi aus, was mit jeder komplexen Zahl geht. Die zwei Bedingungen, die an a und b gestellt werden sind auch noch einleuchtend.
Jetzt habe ich versucht aus den Bedingungen an die beiden Koeffizienten zu kommen. Leider ergebnislos.
[mm] a^2-b^2=0\gdw a^2=b^2
[/mm]
[mm] 2ab=-1\gdw ab=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Dann hätte ich [mm] x_1=2*\wurzel{\bruch{1}{2}}i-\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] und
[mm] x_2=-2*\wurzel{\bruch{1}{2}}i+\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Funktioniert leider alles nicht... irgendwas mache ich also noch komplett falsch.
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Hallo jedi,
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, willst du die
> Nullstellen des Polynoms berechnen - hätte das in der
> Aufgabe gestanden, wäre mir eingiges klarer gewesen.
>
> Das man als Ergebnis dann [mm]\pm2*\wurzel{-i}[/mm] bekommt,
> leuchtet auch noch ein. Dann drückst du [mm]\wurzel{-i}[/mm] in der
> Form z=a+bi aus, was mit jeder komplexen Zahl geht. Die
> zwei Bedingungen, die an a und b gestellt werden sind auch
> noch einleuchtend.
>
> Jetzt habe ich versucht aus den Bedingungen an die beiden
> Koeffizienten zu kommen. Leider ergebnislos.
> [mm]a^2-b^2=0\gdw a^2=b^2[/mm]
> [mm]2ab=-1\gdw ab=-\bruch{1}{2}[/mm]
> Dann
> hätte ich
> [mm]x_1=2*\wurzel{\bruch{1}{2}}i-\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] und
> [mm]x_2=-2*\wurzel{\bruch{1}{2}}i+\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
> Funktioniert leider alles nicht... irgendwas mache ich
> also noch komplett falsch.
>
Für [mm]a^2=b^2[/mm] gibt es 2 Lösungen, naemlich [mm]a=\pm b[/mm]
Gruß
MathePower
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Hi, jedi,
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, willst du die
> Nullstellen des Polynoms berechnen - hätte das in der
> Aufgabe gestanden, wäre mir eingiges klarer gewesen.
"Zerlegung in Linearfaktoren" hat immer auch etwas mit "Nullstellensuche" zu tun!
> Das man als Ergebnis dann [mm]\pm2*\wurzel{-i}[/mm] bekommt,
> leuchtet auch noch ein. Dann drückst du [mm]\wurzel{-i}[/mm] in der
> Form z=a+bi aus, was mit jeder komplexen Zahl geht. Die
> zwei Bedingungen, die an a und b gestellt werden sind auch
> noch einleuchtend.
>
> Jetzt habe ich versucht aus den Bedingungen an die beiden
> Koeffizienten zu kommen. Leider ergebnislos.
> [mm]a^2-b^2=0\gdw a^2=b^2[/mm]
> [mm]2ab=-1\gdw ab=-\bruch{1}{2}[/mm]
> Dann
> hätte ich
> [mm]x_1=2*\wurzel{\bruch{1}{2}}i-\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] und
> [mm]x_2=-2*\wurzel{\bruch{1}{2}}i+\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
> Funktioniert leider alles nicht... irgendwas mache ich
> also noch komplett falsch.
"Komplett" falsch ist das nicht!
Aber: Du darfst die Klammern nicht vergessen:
[mm] x_1=2*(\wurzel{\bruch{1}{2}}i-\wurzel{\bruch{1}{2}})
[/mm]
[mm] x_2=-2*(\wurzel{\bruch{1}{2}}i-\wurzel{\bruch{1}{2}})
[/mm]
(Achte auch auf das Minus in der 2. Klammer!)
Und wenn Du nun noch beachtest dass [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2} [/mm] ist, kannst Du alles sogar "noch schöner" schreiben!
Und: Jetzt klappt die Probe!
mfG!
Zwerglein
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