Zerlegung von Permutationen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo,
könnte mir jemand bei folgendem Problem helfen?
Beweisen Sie, dass sich jede Permutation als Komposition paarweise disjunkter Zykel darstellen lässt und diese Zerlegung ibs auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wäre echt dankbar
Gruß Stefan |
Wie beweise ich das ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Fr 13.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | > Hallo,
> könnte mir jemand bei folgendem Problem helfen?
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> Beweisen Sie, dass sich jede Permutation als Komposition
> paarweise disjunkter Zykel darstellen lässt und diese
> Zerlegung ibs auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig
> ist.
> Wäre echt dankbar
>
> Gruß Stefan
> Wie beweise ich das ?
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Hallo Stefan,
ist diese Frage bei dir überhaupt noch aktuell ?
Wenn ja:
Man kann sich das ganz einfach überlegen:
Nimm ein erstes Element [mm] e_1 [/mm] der Menge M und
wende darauf die Permutation fortgesetzt an:
[mm] e_1, p(e_1), p(e_3), [/mm] ... etc.
irgendwann musst du dabei auf [mm] e_1 [/mm] zurückkommen;
damit hast du einen ersten Zyklus. Falls schon [mm]p(e_1)=e_1[/mm],
ist [mm] e_1 [/mm] ein Fixpunkt und [mm] (e_1) [/mm] ein "Einer-Zyklus".
Falls der erste gefundene Zyklus schon alle n Elemente
der Grundmenge enthält, bist du fertig. Andernfalls nimmst
du eines der übriggebliebenen Elemente, [mm] e_2, [/mm] und verfährst
mit ihm so wie vorher mit [mm] e_1 [/mm] und findest einen weiteren
Zyklus. So fährst du weiter, bis ganz M ausgeschöpft ist.
Dass diese Zyklen paarweise disjunkt sind, ergibt sich
daraus, dass die Permutation eine bijektive Abbildung M [mm] \to [/mm] M
ist.
LG al-Chw.
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