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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:41 Di 03.06.2008 | | Autor: | hexer85 |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] und [mm] A=A_{1} [/mm] + [mm] A_{2} [/mm] sei die Zerlegung von A in eine symmetrische Matrix [mm] A_{1} [/mm] und eine schiefsymmetrische Matrix [mm] A_{2}. [/mm] Zeige: Genau dann gilt [mm] x^{t} [/mm] A x > 0 für alle [mm] x\not=0 [/mm] aus [mm] \IR^{n}, [/mm] wenn [mm] A_{1} [/mm] positiv definit ist.
Implizieren diese äquivalenten Bedingungen, daß det(A) > 0 ist? |
Hallo 
Den ersten Teil habe ich hinbekommen, aber leider weiß ich nicht, wie ich det(A) > 0 zeigen kann.
Ich kann wohl zeigen, dass [mm] det(A)\not=0, [/mm] aber das war's dann auch. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Würd mich freuen
Ach ja:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei A [mm]\in M_{n}(\IR)[/mm] und [mm]A=A_{1}[/mm] + [mm]A_{2}[/mm] sei die Zerlegung
> von A in eine symmetrische Matrix [mm]A_{1}[/mm] und eine
> schiefsymmetrische Matrix [mm]A_{2}.[/mm] Zeige: Genau dann gilt
> [mm]x^{t}[/mm] A x > 0 für alle [mm]x\not=0[/mm] aus [mm]\IR^{n},[/mm] wenn [mm]A_{1}[/mm]
> positiv definit ist.
> Implizieren diese äquivalenten Bedingungen, daß det(A) > 0
> ist?
> Hallo
Hey!!
> Den ersten Teil habe ich hinbekommen, aber leider weiß ich
> nicht, wie ich det(A) > 0 zeigen kann.
> Ich kann wohl zeigen, dass [mm]det(A)\not=0,[/mm] aber das war's
> dann auch. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Würd
> mich freuen
>
Die Behauptung stimmt ja auch nicht 
Gucke dir mal die Summe an von [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
Oh hast recht, da habe ich nicht genau genug gelesen. Vielleicht fällt mir im Verlauf des Abends noch was dazu ein.
> Ach ja:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Di 03.06.2008 | | Autor: | hexer85 |
aber deine Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } [/mm] ist ja nicht positiv definit
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> Sei A [mm]\in M_{n}(\IR)[/mm] und [mm]A=A_{1}[/mm] + [mm]A_{2}[/mm] sei die Zerlegung
> von A in eine symmetrische Matrix [mm]A_{1}[/mm] und eine
> schiefsymmetrische Matrix [mm]A_{2}.
> [/mm] Genau dann gilt
> [mm]x^{t}[/mm] A x > 0 für alle [mm]x\not=0[/mm] aus [mm]\IR^{n},[/mm] wenn [mm]A_{1}[/mm]
> positiv definit ist.
> Implizieren diese äquivalenten Bedingungen, daß det(A) > 0
> ist?
EDIT: bis aufs Willkommen ist alles hier Unfug, weil die zweite Matrix nicht schiefsymmetrisch ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
die Aussage stimmt nicht:
[mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ -1 & -3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & -2 }
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Mi 04.06.2008 | | Autor: | hexer85 |
Hallo
müssen bei der Zerlegung die Matrizen nicht wie folgt aussehen:
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11} & b \\ b & a_{22} }
[/mm]
[mm] A_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & c \\ -c & 0 }
[/mm]
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> Hallo
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> müssen bei der Zerlegung die Matrizen nicht wie folgt
> aussehen:
>
> [mm]A_{1}[/mm] = [mm]\pmat{ a_{11} & b \\ b & a_{22} }[/mm]
>
> [mm]A_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & c \\ -c & 0 }[/mm]
Hallo,
Du hast recht. Schade.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Mi 04.06.2008 | | Autor: | hexer85 |
scheint doch was kniffliger zu sein, danke aber für das "Willkommen"
Ich hab mir in der Zwischenzeit mal einen Tip abgeholt, mit dem ich aber nicht so viel anfangen kann und zwar :
det(A) = [mm] \produkt \lambda_\IR \* \produkt \lambda_\IC [/mm] > 0
wobei [mm] \lambda_\IR [/mm] die reellen und [mm] \lambda_\IC [/mm] die komplexen Eigenwerte von A sein sollen. Mich bringt das leider nicht weiter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Do 05.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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