Zerlegung in Summen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Gegeben ist ein Vektor a sowie ein Vektor x. Der Vektor x soll so in eine Summe zerlegt werden, dass der erste Summand parallel z a, der zweite aber senkrecht zu a ist. |
Also sei:
x = t * a + (x - t*a)
Parallel heißt ja: gleicher Richtungsvektor
Normal: Normalvektor auf diesen Richtungsvektor
Bestimmen muss ich als eigentlich nur t, sprich den Parameter. Die Frage ist nur mehr: Wie um himmelswillen bestimme ich t, wenn mir die Vektoren nur in dieser allgemeinen Form vorliegen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mo 04.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist ein Vektor a sowie ein Vektor x. Der Vektor x
> soll so in eine Summe zerlegt werden, dass der erste
> Summand parallel z a, der zweite aber senkrecht zu a ist.
> Also sei:
> x = t * a + (x - t*a)
Das ist schon mal gut.
>
> Parallel heißt ja: gleicher Richtungsvektor
> Normal: Normalvektor auf diesen Richtungsvektor
>
> Bestimmen muss ich als eigentlich nur t, sprich den
> Parameter. Die Frage ist nur mehr: Wie um himmelswillen
> bestimme ich t,
Der 2. Summand, also x - t*a soll doch senkrecht auf a stehen, also muß das Skalarprodukt aus x-t*a und a Null egeben. Daraus kannst Du t bestimmen.
FRED
> wenn mir die Vektoren nur in dieser
> allgemeinen Form vorliegen.
|
|
|
| |
|
Es gilt weil a [mm] \perp [/mm] x- t*a:
(1) (a) * (x - t*a) = 0
(2) |a| * |x-t*a| * [mm] \underbrace{cos(a,x)}_{=1} [/mm]
Als wie mach ich das so formal ich bin es nur mit Koordinaten gewohnt ^^
|
|
|
| |
|
Hallo newflemmli,
> Es gilt weil a [mm]\perp[/mm] x- t*a:
>
> (1) (a) * (x - t*a) = 0
> (2) |a| * |x-t*a| * [mm]\underbrace{cos(a,x)}_{=1}[/mm]
>
> Als wie mach ich das so formal ich bin es nur mit
> Koordinaten gewohnt ^^
Löse jetzt die Gleichung
[mm]\overrightarrow{a} \* \left(\overrightarrow{x}-t*\overrightarrow{a}\right)=0[/mm]
nach t auf.
Dabei ist zu beachten, daß
[mm]\overrightarrow{a} \* \overrightarrow{x}[/mm] bzw. [mm]\overrightarrow{a} \* \overrightarrow{a}[/mm] das Skalarprodukt zweier Vektoren ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
a * x = |a| * |x| * cos(90)
a * a = |a| * |a| * cos(0)
- t * |a| * |a| * cos(0) = 0 cos(0)=1
-t = 0?
|
|
|
| |
|
Hallo newflemmli,
> a * x = |a| * |x| * cos(90)
>
>
> a * a = |a| * |a| * cos(0)
>
>
> - t * |a| * |a| * cos(0) = 0 cos(0)=1
>
> -t = 0?
So habe ich das nicht gemeint.
Berechne das t aus
[mm]\overrightarrow{a} \* \left(\overrightarrow{x}-t*\overrightarrow{a}\right)=0[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
wie hast du es denn gemeint ^^ so;:
a*x - t * a * a = 0
-ax = - t * a * a
-t = - a * x / a * a
?
|
|
|
| |
|
Hallo newflemmli,
> wie hast du es denn gemeint ^^ so;:
>
> a*x - t * a * a = 0
>
> -ax = - t * a * a
> -t = - a * x / a * a
>
> ?
Ja, so in etwa. Unterscheide sauberer zwischen den verschiedenen Multiplikationen!
Schaue dir mal die Rechenregeln für das Skalarprodukt an, es gilt u.a. das Distributivgesetz, also
[mm]\vec{a}\star(\vec{x}-t\cdot{}\vec{a})=0[/mm]
[mm]\gdw \vec{a}\star\vec{x} \ - \ \vec{a}\star(t\cdot{}\vec{a}) \ = \ 0[/mm]
[mm]\gdw \vec{a}\star\vec{x} \ - \ t\cdot{}(\vec{a}\star\vec{a}) \ = \ 0[/mm] denn t ist "bloß" Skalar
[mm]\gdw \vec{a}\star\vec{x} \ = \ t\cdot{}(\vec{a}\star\vec{a})[/mm]
Was ergibt denn das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst?
Doch seine Länge zum Quadrat, also eine nicht-negative (sofern [mm]\vec{a}\neq\vec{0}[/mm] ist sogar positive) reelle Zahl!
[mm]\gdw \vec{a}\star\vec{x} \ = \ t\cdot{}\underbrace{|\vec{a}|^2}_{>0 \ \text{für} \ \vec{a}\neq\vec{0}}[/mm]
Nun teile noch durch [mm]|\vec{a}|^2[/mm] und du hast [mm]t[/mm] heraus ...
Das so ermittelte [mm]t[/mm] ist in der Tat eine reelle Zahl. Begründe das mal kurz zum Verständnischeck!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
