Zerlegung der symm. Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 So 07.08.2011 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | "Die Gruppe [mm]S_n[/mm] zerfällt in zwei Klassen, die der geraden und die der ungeraden Permutationen, und diese beiden Klassen sind nahezu gleichberechtigt. Zunächst zu den geraden:
[mm]A_n := \left\{\sigma \in S_n : sign(\sigma) = +1\right\} \subset S_n[/mm]
ist nach dem Satz aus 3.2.3 eine Untergruppe, sie heißt alternierende Gruppe.
Für jedes [mm]\tau \in S_n[/mm] haben wir
[mm]A_n\tau := \left\{\sigma * \tau : \sigma \in A_n\right\}[/mm].
Für [mm]sign(\tau) = +1[/mm] ist offenbar [mm]A_n \tau = A_n[/mm]
Bemerkung.
Ist [mm]\tau \in S_n[/mm] mit [mm]sign(\tau) = -1[/mm] gegeben, so ist
[mm]S_n = A_n\cup\ A_n\tau[/mm] und [mm]A_n \cap A_n \tau = \emptyset[/mm]
Aus 'Lineare Algebra' von Gerd Fischer, 14.Auflage, S.192 |
Hallo alle zusammen!
Ich habe ein kleines Problem bei dem Beweis, den ich euch ebenfalls erstmal abschreibe:
"Beweis: Sei [mm]\sigma \in S_n[/mm] mit [mm]sign(\sigma) = -1[/mm] gegeben. Nach 3.2.3 ist [mm]sign(\sigma * \tau^{-1}) = +1[/mm], also ist [mm]\sigma \in A_n\tau[/mm], denn [mm]\sigma = (\sigma * \tau^{-1}) * \tau[/mm]. Für jedes [mm]\sigma \in A_n\tau[/mm] ist [mm]sign(\sigma) = -1[/mm], also ist die Vereinigung auch disjunkt."
Ich kann nicht nachvollziehen, dass mein gewähltes [mm]\sigma[/mm] mit [mm]sign(\sigma) = -1[/mm] in [mm]A_n\tau[/mm] liegen soll. Denn dort sind doch nach Definition nur die [mm]\sigma * \tau[/mm] enthalten mit [mm]sign(\sigma) = +1[/mm].
Hab ich da irgendwas völlig falsch verstanden?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe :-D
ilfairy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 So 07.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> "Die Gruppe [mm]S_n[/mm] zerfällt in zwei Klassen, die der geraden
> und die der ungeraden Permutationen, und diese beiden
> Klassen sind nahezu gleichberechtigt. Zunächst zu den
> geraden:
> [mm]A_n := \left\{\sigma \in S_n : sign(\sigma) = +1\right\} \subset S_n[/mm]
>
> ist nach dem Satz aus 3.2.3 eine Untergruppe, sie heißt
> alternierende Gruppe.
> Für jedes [mm]\tau \in S_n[/mm] haben wir
> [mm]A_n\tau := \left\{\sigma * \tau : \sigma \in A_n\right\}[/mm].
>
> Für [mm]sign(\tau) = +1[/mm] ist offenbar [mm]A_n \tau = A_n[/mm]
>
>
>
> Bemerkung.
> Ist [mm]\tau \in S_n[/mm] mit [mm]sign(\tau) = -1[/mm] gegeben, so ist
> [mm]S_n = A_n\cup\ A_n\tau[/mm] und [mm]A_n \cap A_n \tau = \emptyset[/mm]
>
>
> Aus 'Lineare Algebra' von Gerd Fischer, 14.Auflage, S.192
> Hallo alle zusammen!
>
> Ich habe ein kleines Problem bei dem Beweis, den ich euch
> ebenfalls erstmal abschreibe:
>
> "Beweis: Sei [mm]\sigma \in S_n[/mm] mit [mm]sign(\sigma) = -1[/mm] gegeben.
> Nach 3.2.3 ist [mm]sign(\sigma * \tau^{-1}) = +1[/mm], also ist
> [mm]\sigma \in A_n\tau[/mm], denn [mm]\sigma = (\sigma * \tau^{-1}) * \tau[/mm].
> Für jedes [mm]\sigma \in A_n\tau[/mm] ist [mm]sign(\sigma) = -1[/mm], also
> ist die Vereinigung auch disjunkt."
>
> Ich kann nicht nachvollziehen, dass mein gewähltes [mm]\sigma[/mm]
> mit [mm]sign(\sigma) = -1[/mm] in [mm]A_n\tau[/mm] liegen soll. Denn dort
> sind doch nach Definition nur die [mm]\sigma * \tau[/mm] enthalten
> mit [mm]sign(\sigma) = +1[/mm].
>
> Hab ich da irgendwas völlig falsch verstanden?
Da steht doch: ist [mm] $sign(\sigma) [/mm] = -1$, so ist [mm] $\sigma [/mm] = [mm] (\sigma \tau^{-1}) \tau \in A_n \tau$, [/mm] da [mm] $\sigma \tau^{-1} \in A_n$ [/mm] ist wegen [mm] $sign(\sigma \tau^{-1}) [/mm] = +1$.
Wenn du das nicht verstehst, sag genau in welchem Schritt es hapert.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:40 Mo 08.08.2011 | | Autor: | ilfairy |
Danke für die schnelle Antwort! Ich glaube, es jetzt teilweise verstanden zu haben.
Einerseits haben wir die alternierende Gruppe, die die geraden Permutationen enthält und brauchen noch eine mit den ungeraden.
Das Problem ist, wenn ich mir zweitere definiere:
[mm]A_n' = \left\{\sigma\in S_n : sign(\sigma) = -1\right\} \subset S_n[/mm]
bekomme ich keine Untergruppe, da die Menge nicht bzgl. der Verknüpfung abgeschlossen ist:
Seien [mm]\sigma, \tau \in A_n'[/mm], dann ist:
[mm]sign(\sigma * \tau) = sign(\sigma) * sign(\tau) = -1 * -1 = 1 \Rightarrow \sigma * \tau \not\in A_n'[/mm]
Also definieren wir uns die gewünschte Untergruppe* über den Umweg mit einer zweiten Permutation.
Diese Gruppe enhält dann wirklich nur die Permutationen mit [mm]sign(\sigma) = -1[/mm]:
1. wähle beliebiges [mm]\sigma \in S_n[/mm] mit [mm]sign(\sigma) = -1[/mm]
2. zeige, dass [mm]sign(\sigma * \tau^{-1}) = +1 \gdw \sigma * \tau^{-1} \in A_n[/mm]
3. mit 2. ist Voraussetzung erfüllt, damit [mm](\sigma * \tau^{-1}) *\tau \in A_n \tau[/mm] liegt
4. nur noch zu zeigen, dass [mm](\sigma * \tau^{-1}) *\tau = \sigma \Rightarrow \sigma\in A_n \tau[/mm]
Damit wurde also gezeigt, dass die Permutationen mit negativen Signum in [mm]A_n \tau[/mm] liegen.
Also ist die Vereinigung disjunkt, weil zum einen Permutationen entweder pos. oder neg. Signum haben können und wenn sie pos. haben, liegen sie in [mm]A_n[/mm] per Definition und wenn sie neg. Signum haben, liegen sie in [mm]A_n \tau[/mm].
*z.z. [mm]A_n \tau[/mm] ist Untergruppe
a) [mm]A_n \tau \ne \emptyset[/mm]:
wurde oben schon gezeigt
b) abgeschlossen bzgl. der Verknüpfung:
Seien [mm]\sigma * \tau, \hat\sigma * \tau \in A_n \tau[/mm], dann ist:
[mm]sign(\sigma * \tau * \hat\sigma * \tau) = sign(\sigma) * sign(\tau) * sign(\hat\sigma) * sign(\tau) = +1 * -1 * +1 * -1 = +1[/mm]
oder ist [mm]A_n \tau[/mm] keine Untergruppe? Aber warum nehmen wir dann nicht meine oben definierte [mm]A_n'[/mm]?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Mo 08.08.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Danke für die schnelle Antwort! Ich glaube, es jetzt
> teilweise verstanden zu haben.
Aber auch nur teilweise!
> Einerseits haben wir die alternierende Gruppe, die die
> geraden Permutationen enthält und brauchen noch eine mit
> den ungeraden.
> Das Problem ist, wenn ich mir zweitere definiere:
> [mm]A_n' = \left\{\sigma\in S_n : sign(\sigma) = -1\right\} \subset S_n[/mm]
>
> bekomme ich keine Untergruppe, da die Menge nicht bzgl. der
> Verknüpfung abgeschlossen ist:
So isset!
> Seien [mm]\sigma, \tau \in A_n'[/mm], dann ist:
> [mm]sign(\sigma * \tau) = sign(\sigma) * sign(\tau) = -1 * -1 = 1 \Rightarrow \sigma * \tau \not\in A_n'[/mm]
>
> Also definieren wir uns die gewünschte Untergruppe* über
> den Umweg mit einer zweiten Permutation.
> Diese Gruppe enhält dann wirklich nur die Permutationen
> mit [mm]sign(\sigma) = -1[/mm]:
> 1. wähle beliebiges [mm]\sigma \in S_n[/mm]
> mit [mm]sign(\sigma) = -1[/mm]
Gibt es das immer?
> 2. zeige, dass [mm]sign(\sigma * \tau^{-1}) = +1 \gdw \sigma * \tau^{-1} \in A_n[/mm]
>
> 3. mit 2. ist Voraussetzung erfüllt, damit [mm](\sigma * \tau^{-1}) *\tau \in A_n \tau[/mm]
> liegt
> 4. nur noch zu zeigen, dass [mm](\sigma * \tau^{-1}) *\tau = \sigma \Rightarrow \sigma\in A_n \tau[/mm]
>
> Damit wurde also gezeigt, dass die Permutationen mit
> negativen Signum in [mm]A_n \tau[/mm] liegen.
> Also ist die Vereinigung disjunkt, weil zum einen
> Permutationen entweder pos. oder neg. Signum haben können
> und wenn sie pos. haben, liegen sie in [mm]A_n[/mm] per Definition
> und wenn sie neg. Signum haben, liegen sie in [mm]A_n \tau[/mm].
Wenn das so ist, dann ist doch [mm] A_n \tau [/mm] = [mm] A_n'
[/mm]
> *z.z. [mm]A_n \tau[/mm] ist Untergruppe
Ab jetzt läufst du in den Wald.
> a) [mm]A_n \tau \ne \emptyset[/mm]:
> wurde oben schon gezeigt
> b) abgeschlossen bzgl. der Verknüpfung:
> Seien [mm]\sigma * \tau, \hat\sigma * \tau \in A_n \tau[/mm], dann
> ist:
> [mm]sign(\sigma * \tau * \hat\sigma * \tau) = sign(\sigma) * sign(\tau) * sign(\hat\sigma) * sign(\tau) = +1 * -1 * +1 * -1 = +1[/mm]
>
> oder ist [mm]A_n \tau[/mm] keine Untergruppe? Aber warum nehmen wir
> dann nicht meine oben definierte [mm]A_n'[/mm]?
Welche Signatur hat denn das neutrale Element und wo liegt es?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Mo 08.08.2011 | | Autor: | ilfairy |
Hallo Dieter!
> 1. wähle beliebiges [mm]\sigma \in S_n[/mm]
> mit [mm]sign(\sigma) = -1[/mm]
> Gibt es das immer?
Ja, denn [mm]S_n[/mm] ist die Menge aller Permutationen [mm]\sigma[/mm] und ich kann jede Permutation in miteinander verknüpfte Transpositionen zerlegen. Für eine Transposition [mm]\tau[/mm] gilt [mm]sign(\tau) = -1[/mm]. Wenn ich also eine Permutation nehme, die aus einer ungeraden Anzahl von Transpositionen besteht, gilt für diese: [mm]sign(\sigma) = sign(\tau_1 * .... * \tau_n) = sign(\tau_1)*....*sign(\tau_n) = (-1)^n = -1[/mm]
Naja.. und die Transpositionen gibt es auch. Das sind ja spezielle Permutationen mit nur einem Fehlstand. Oder habe ich deine Frage falsch verstanden?
> Wenn das so ist, dann ist doch [mm]A_n \tau = A_n'[/mm]
Stimmt - also sind beide Mengen im Grunde dieselben. Nämlich die Menge der Permutationen mit negativen Signum.
> Welche Signatur hat denn das neutrale Element und wo liegt es?
Das neutrale Element ist die Identitätsabbildung:
[mm]id: \left\{1,....,n\right\} \rightarrow \left\{1,....,n\right\}[/mm]
[mm]i \mapsto id(i)[/mm]
und es gilt:
[mm]sign(id) = 1[/mm], denn für eine beliebige Permutation ist:
[mm]sign(id) = sign(\sigma * \sigma^{-1}) = sign(\sigma)*sign(\sigma^{-1}) = sign(\sigma)*sign(\sigma) = 1[/mm]
Jetzt habe ich mich richtig im Wald verlaufen. Das neutrale Element liegt also in [mm]A_n[/mm]! Wie ist es dann überhaupt möglich die Menge der Permutationen in zwei gleich große Klassen einzuteilen? Bzw. in eine Untergruppe ([mm]A_n[/mm]) und eine 'Klasse' ([mm]A_n'[/mm] ist ja scheinbar keine Untergruppe).
Herzliche Grüße nach Hamburg!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:59 Di 09.08.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> > 1. wähle beliebiges [mm]\sigma \in S_n[/mm]
> > mit [mm]sign(\sigma) = -1[/mm]
>
> > Gibt es das immer?
> Ja, denn [mm]S_n[/mm] ist die Menge aller Permutationen [mm]\sigma[/mm] und
> ich kann jede Permutation in miteinander verknüpfte
> Transpositionen zerlegen. Für eine Transposition [mm]\tau[/mm] gilt
> [mm]sign(\tau) = -1[/mm]. Wenn ich also eine Permutation nehme, die
> aus einer ungeraden Anzahl von Transpositionen besteht,
> gilt für diese: [mm]sign(\sigma) = sign(\tau_1 * .... * \tau_n) = sign(\tau_1)*....*sign(\tau_n) = (-1)^n = -1[/mm]
>
> Naja.. und die Transpositionen gibt es auch. Das sind ja
> spezielle Permutationen mit nur einem Fehlstand. Oder habe
> ich deine Frage falsch verstanden?
Meine Frage sollte dich zu größtmöglicher Genauigkeit bei der Argumentation verleiten. Das hat zum Teil geklappt, indem du die Transpositionen ins Gefecht führst, aber dann doch wieder nicht so restlos, weil es nämlich für n = 1 nicht so ist.
> > Wenn das so ist, dann ist doch [mm]A_n \tau = A_n'[/mm]
> Stimmt -
> also sind beide Mengen im Grunde dieselben. Nämlich die
> Menge der Permutationen mit negativen Signum.
>
>
> > Welche Signatur hat denn das neutrale Element und wo liegt
> es?
> Das neutrale Element ist die Identitätsabbildung:
> [mm]id: \left\{1,....,n\right\} \rightarrow \left\{1,....,n\right\}[/mm]
>
> [mm]i \mapsto id(i)[/mm]
> und es gilt:
> [mm]sign(id) = 1[/mm], denn für eine beliebige Permutation ist:
> [mm]sign(id) = sign(\sigma * \sigma^{-1}) = sign(\sigma)*sign(\sigma^{-1}) = sign(\sigma)*sign(\sigma) = 1[/mm]
>
> Jetzt habe ich mich richtig im Wald verlaufen. Das neutrale
> Element liegt also in [mm]A_n[/mm]! Wie ist es dann überhaupt
> möglich die Menge der Permutationen in zwei gleich große
> Klassen einzuteilen?
Aber das hast du doch gerade beantwortet, wie das möglich ist. Du hast es gemacht!
> Bzw. in eine Untergruppe ([mm]A_n[/mm]) und
> eine 'Klasse' ([mm]A_n'[/mm] ist ja scheinbar keine Untergruppe).
Wenn wir schon bei der Genauigkeit sind: Es muß 'anscheinend' heißen.
Gruß von der Elbe
Dieter
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