Zerlegung der Eins < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien X ein kompakter Hausdorffraum und [mm] U_{1}, [/mm] ..., [mm] U_{k} [/mm] eine offene Überdeckung von X. Dann gibt es stetige Funktionen [mm] \varphi_{1},...,\varphi_{k} [/mm] mit [mm] supp(\varphi_{i}) \subset U_{i} [/mm] und
[mm] \sum_{i} \varphi^{2}(x) [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X |
Hallo,
dies soll eine Variante der Zerlegung der Eins sein und ich hab versucht, ihre Existenz mit Hilfe einer echten Zerlegung der Eins zu beweisen, allerdings weiß ich nicht wirklich, wie man von stetigen Funktionen [mm] \psi_{1}, [/mm] ..., [mm] \psi_{k} [/mm] mit [mm] \sum_{i} \psi_{i} [/mm] = 1 auf eine solche Zerlegung kommen kann...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Mi 22.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien X ein kompakter Hausdorffraum und [mm]U_{1},[/mm] ..., [mm]U_{k}[/mm]
> eine offene Überdeckung von X. Dann gibt es stetige
> Funktionen [mm]\varphi_{1},...,\varphi_{k}[/mm] mit
> [mm]supp(\varphi_{i}) \subset U_{i}[/mm] und
> [mm]\sum_{i} \varphi^{2}(x)[/mm] = 1 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X
> Hallo,
>
> dies soll eine Variante der Zerlegung der Eins sein und ich
> hab versucht, ihre Existenz mit Hilfe einer echten
> Zerlegung der Eins zu beweisen, allerdings weiß ich nicht
> wirklich, wie man von stetigen Funktionen [mm]\psi_{1},[/mm] ...,
> [mm]\psi_{k}[/mm] mit [mm]\sum_{i} \psi_{i}[/mm] = 1 auf eine solche
> Zerlegung kommen kann...
Da $X$ kompakt ist gibt es ein $B [mm] \ge [/mm] 0$ mit [mm] $\psi_i(x) \ge [/mm] -B$ fuer alle $i$ und alle $x [mm] \in [/mm] X$. Setze [mm] $\hat{\psi}_i [/mm] := [mm] \frac{1}{1 + n B} (\psi_i [/mm] + B)$. Dann gilt [mm] $\hat{\psi}_i \ge [/mm] 0$ fuer alle $i$, und [mm] $\sum_{i=1}^n \hat{\psi}_i [/mm] = 1$.
Verwende jetzt, dass [mm] $\sqrt [/mm] : [0, [mm] \infty) \to [/mm] [0, [mm] \infty)$ [/mm] stetig ist.
LG Felix
|
|
|
|
