Zerlegung Mehrfachintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgendes Mehrfachintegral:
[mm] \int_a^b\int_a^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2
[/mm]
und ich würde das jetzt gerne so zerlegen, dass ich folgendes bekomme: a<c<b
[mm] \int_a^c\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1dx_2+\int_c^b\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2
[/mm]
Ich bin mir etwas unsicher, ob ich das einfach so darf.
Ein einfaches Integral zu zerlegen ist ja kein Problem:
[mm] \int_a^b f(x_1,x_2)dx_1=\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1+\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1
[/mm]
Aber kann ich dann auch das "äußere Integral" zerlegen? Also ist es möglich folgendes zu tun:
[mm] \int_a^b\left(\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1+\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1\right)dx_2=\int_a^c\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1dx_2+\int_c^b\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2
[/mm]
Wenn nicht, gibt es irgendeine Möglichkeit, die Integrale "auseinander zu nehmen"?
Danke! 
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Hallo Balendilin,
> Hallo,
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> ich habe folgendes Mehrfachintegral:
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> [mm]\int_a^b\int_a^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2[/mm]
>
> und ich würde das jetzt gerne so zerlegen, dass ich
> folgendes bekomme: a<c<b
>
> [mm]\int_a^c\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1dx_2+\int_c^b\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2[/mm]
>
> Ich bin mir etwas unsicher, ob ich das einfach so darf.
>
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> Ein einfaches Integral zu zerlegen ist ja kein Problem:
>
> [mm]\int_a^b f(x_1,x_2)dx_1=\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1+\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1[/mm]
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> Aber kann ich dann auch das "äußere Integral" zerlegen?
> Also ist es möglich folgendes zu tun:
>
> [mm]\int_a^b\left(\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1+\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1\right)dx_2=\int_a^c\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1dx_2+\int_c^b\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2[/mm]
>
Nein, da es sich links und rechts
um verschiedene Integrationsgebiete handelt.
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> Wenn nicht, gibt es irgendeine Möglichkeit, die Integrale
> "auseinander zu nehmen"?
Das ist systematisch anzugehen:
[mm]\integral_ {a}^{b}{\integral_{a}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}=\integral_ {a}^{b}{\left( \integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1+\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1\right)} \ dx_2}[/mm]
[mm]=\integral_ {a}^{c}{\left( \integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1+\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1\right)} \ dx_2}+\integral_ {c}^{b}{\left( \integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1+\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1\right)} \ dx_2}[/mm]
[mm]=\integral_ {a}^{c}{\integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}+\integral_ {a}^{c}{\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}+\integral_ {c}^{b}{\integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}+\integral_ {c}^{b}{\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}[/mm]
> Danke!
Gruss
MathePower
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Danke für deine Antwort!
Aber warum darf ich folgendes nicht tun:
> > [mm]\int_a^b\left(\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1+\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1\right)dx_2=\int_a^c\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1dx_2+\int_c^b\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2[/mm]
wo du hier aber genau das gleiche machst:
> [mm]\integral_ {a}^{c}{\left( \integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1+\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1\right)} \ dx_2}[/mm]
>
> [mm]=\integral_ {a}^{c}{\integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}+\integral_ {a}^{c}{\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}+[/mm]
>
Oder übersehe ich grad irgendwas?
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Hallo Balendilin,
> Danke für deine Antwort!
> Aber warum darf ich folgendes nicht tun:
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> > > [mm]\int_a^b\left(\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1+\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1\right)dx_2=\int_a^c\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1dx_2+\int_c^b\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2[/mm]
>
> wo du hier aber genau das gleiche machst:
>
> > [mm]\integral_ {a}^{c}{\left( \integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1+\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1\right)} \ dx_2}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\integral_ {a}^{c}{\integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}+\integral_ {a}^{c}{\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}+[/mm]
>
> >
>
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> Oder übersehe ich grad irgendwas?
Die äußeren und inneren Grenzen des 2. Doppelintegrals sind
bei mir verschieden, während sie bei Dir gleich sind.
Gruss
MathePower
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> Hallo Balendilin,
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> > Danke für deine Antwort!
> > Aber warum darf ich folgendes nicht tun:
> >
> >
> > > > [mm]\int_a^b\left(\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1+\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1\right)dx_2=\int_a^c\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1dx_2+\int_c^b\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2[/mm]
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> >
> > wo du hier aber genau das gleiche machst:
> >
> > > [mm]\integral_ {a}^{c}{\left( \integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1+\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1\right)} \ dx_2}[/mm]
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> > >
> > > [mm]=\integral_ {a}^{c}{\integral_{a}^{c} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}+\integral_ {a}^{c}{\integral_{c}^{b} { f(x_1,x_2) \ dx_1} \ dx_2}+[/mm]
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> > >
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> >
> > Oder übersehe ich grad irgendwas?
>
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> Die äußeren und inneren Grenzen des 2. Doppelintegrals
> sind
> bei mir verschieden, während sie bei Dir gleich sind.
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Nach welchem Satz darf ich denn dann die Integrale nicht auseinander ziehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Nach welchem Satz darf ich denn dann die Integrale nicht auseinander ziehen?
So funktioniert Mathe nicht. Die Frage ist, nach welchem Satz glaubst Du es tun zu dürfen?
MathePower benutzt die Linearität des Integrals; einen der ersten Sätze, den man zeigt.
[mm] $\int_a^b [/mm] h(x)+g(x)\ dx = [mm] \int_a^b [/mm] h(x)\ dx + [mm] \int_a^b [/mm] g(x)\ dx$
ciao
Stefan
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> Hi,
>
> > Nach welchem Satz darf ich denn dann die Integrale nicht
> auseinander ziehen?
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> So funktioniert Mathe nicht. Die Frage ist, nach welchem
> Satz glaubst Du es tun zu dürfen?
>
>
> MathePower benutzt die Linearität des Integrals; einen der
> ersten Sätze, den man zeigt.
>
> [mm]\int_a^b h(x)+g(x)\ dx = \int_a^b h(x)\ dx + \int_a^b g(x)\ dx[/mm]
>
> ciao
> Stefan
>
>
Eigentlich dachte ich, ich würde die Linearität des Integrals benutzen 
Ist das hier denn nicht die Linearität des (äußeren) Integrals:
[mm] \int_a^b\left(\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1+\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1\right)dx_2=\int_a^c\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1dx_2+\int_c^b\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2 [/mm]
Irgendwie stehe ich glaub ein bisschen auf dem Schlauch?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Blech |
> Ist das hier denn nicht die Linearität des (äußeren) Integrals:
nein, weil die Integrationsgrenzen nicht stimmen.
> $ [mm] \int_a^b [/mm] h(x)+g(x)\ dx = [mm] \int_a^b [/mm] h(x)\ dx + [mm] \int_a^b [/mm] g(x)\ dx $
Man beachte, daß da nicht steht
$ [mm] \int_a^b [/mm] h(x)+g(x)\ dx = [mm] \int_a^c [/mm] h(x)\ dx + [mm] \int_c^b [/mm] g(x)\ dx $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft ein Bild:
Mal Dir mal das Quadrat [a,b] [mm] \times [/mm] [a,b]. Mit c [mm] \in [/mm] (a,b) zerlegst Du das Quadrat in 4 Rechtecke.
Bei
$ [mm] \int_a^b\int_a^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2 [/mm] $
integrierst Du über alle 4 Rechtecke.
Bei
$ [mm] \int_a^c\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1dx_2+\int_c^b\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2 [/mm] $
integrierst Du nur über 2 Rechtecke, nämlich das Rechteck links unten und das Rechteck rechts oben.
Ist z.B. a=0, b=1, c=1/2 und f=1,so ist
$ [mm] \int_a^b\int_a^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2 [/mm] =1$, aber $ [mm] \int_a^c\int_a^c f(x_1,x_2)dx_1dx_2+\int_c^b\int_c^b f(x_1,x_2)dx_1dx_2 [/mm] =1/2$
FRED
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