Zerlegung/Lösen Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
| Aufgabe | Lösen Sie in [mm] \IC [/mm] die Gleichungen:
1) [mm] (1+\wurzel{3i})z^{2} [/mm] = [mm] 2\wurzel{3} [/mm] + 2i
2) [mm] z^{6} [/mm] = 3 + [mm] 3\wurzel{3i} [/mm] |
Guten Tag, Matheprofis,
ich komme beim Zerlegen einfach nicht weiter, habe schon mehrere Ansätze versucht.
Zu Aufgabe 1):
Hier habe ich einfach [mm] /:(1+\wurzel{3i})
[/mm]
[mm] \dgw z^{2}= \bruch {2\wurzel{3}+2i}{1 + \wurzel{3i}}
[/mm]
dann wollte ich versuchen daraus die Form a + bi zu bekommen, aber das kann doch nicht die richtige Lösung sein oder?
Gibt es dafür eine allgemeine Formel, wenn man die Lösungen für ein [mm] z^{n} [/mm] finden soll?
Lieben Gruß Fabian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Mi 06.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Fabian
2 Loesungswege.
1. schreibe alle Zahlen als [mm] r*e^{i\phi} [/mm] berechne z, und wandle dann wieder in a=ib um.
2. erweitere deinen Bruch mit dem konj komplexen des Nenners
dann hast du wieder die Form A+iB
dann [mm] z^2=(x+iy)^2 [/mm] bilden und Im und Re einzeln vergleichen.
Das klappt aber nur bei 1. aufgabe.
zur zweiten geht nur Vorschlag 1.
denk dran es gibt 6 verschiedene Wurzeln.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
Danke für die Ansätze leduart,
ich habe es mit dem 1.Lösungsweg versucht, da er mir einfacher erschien. Stehe aber vor einem zweiten Problem. Ich habe es bis dahin geschafft:
(1 + [mm] \wurzel{3i}) [/mm] = [mm] 2e^{i \bruch{\pi}{3}}
[/mm]
[mm] (2\wurzel{3}+2i) [/mm] = [mm] 4e^{i \bruch{\pi}{6}}
[/mm]
dann habe ich ja für [mm] z^{2} [/mm] = [mm] (\bruch{2e^{i \bruch{\pi}{6}}}{e^{i \bruch{\pi}{3}}})^{2} [/mm] raus. Wie mache ich hier weiter?
Gibt es eine allgemeine Formel um so etwas zu lösen? Gruß Fabi
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Hallo Newbie89,
> Danke für die Ansätze leduart,
>
> ich habe es mit dem 1.Lösungsweg versucht, da er mir
> einfacher erschien. Stehe aber vor einem zweiten Problem.
> Ich habe es bis dahin geschafft:
>
> (1 + [mm]\wurzel{3i})[/mm] = [mm]2e^{i \bruch{\pi}{3}}[/mm]
>
> [mm](2\wurzel{3}+2i)[/mm] = [mm]4e^{i \bruch{\pi}{6}}[/mm]
>
> dann habe ich ja für [mm]z^{2}[/mm] = [mm](\bruch{2e^{i \bruch{\pi}{6}}}{e^{i \bruch{\pi}{3}}})^{2}[/mm]
> raus. Wie mache ich hier weiter?
Zunächst ist
[mm]z^{2}=\bruch{ 4*e^{ i*\bruch{\pi}{6} } }{ 2*e^{ i*\bruch{\pi}{3} } }[/mm]
Nach den Potenzgesetzen ist das
[mm]z^{2}=\bruch{4}{2}*e^{i* \left( \bruch{\pi}{6} - \bruch{\pi}{3} \right) }=2*e^{-i*\bruch{\pi}{6}}[/mm]
>
> Gibt es eine allgemeine Formel um so etwas zu lösen? Gruß
> Fabi
Siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) Wurzeln aus komplexen Zahlen
Gruß
MathePower
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