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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Fr 16.05.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Polynome
[mm] $X^4-7$ [/mm] und [mm] $3X^2-6$ [/mm] auf Unzerlegbarkeit als Elemente
(a) des Ringes [mm] $\mathbb{Q}[X]$
[/mm]
(b) des Ringes [mm] $\mathbb{Z}[X]$. [/mm] |
Hallo zusammen,
wäre nett, wenn jemand meine Lösungen kurz überprüfen und mir zum ersten Polynom einen Tipp geben könnte.
[mm] $3X^2-6$ [/mm] kann ich schreiben als [mm] $3\cdot (X^2-2)$ [/mm] wobei beide Faktoren ungleich $-1$ und $1$ sind. Da dies genau die Einheiten in [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] sind, ist das Polynom in [mm] $\mathbb{Z}[X]$ [/mm] zerlegbar (denn $3$ ist ein echter Teiler). Da ich [mm] $X^2-2$ [/mm] nur zu [mm] $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$ [/mm] zerlegen kann, diese Faktoren aber nicht in [mm] $\mathbb{Q}[X]$ [/mm] liegen, ist das Polynom in [mm] $\mathbb{Q}[X]$ [/mm] nicht zerlegbar.
Für das erste Polynom fällt mir nicht wirklich was ein, wie ich das zerlegen könnte. Die Nullstelle [mm] $\sqrt[4]{7}$ [/mm] scheint mir auch nicht rational zu sein, dass ich nicht auf Anhieb eine Zerlegung angeben kann.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Fr 16.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Gregor,
> Untersuchen Sie die Polynome
> [mm]X^4-7[/mm] und [mm]3X^2-6[/mm] auf Unzerlegbarkeit als Elemente
> (a) des Ringes [mm]\mathbb{Q}[X][/mm]
> (b) des Ringes [mm]\mathbb{Z}[X][/mm].
>
> wäre nett, wenn jemand meine Lösungen kurz überprüfen und
> mir zum ersten Polynom einen Tipp geben könnte.
>
> [mm]3X^2-6[/mm] kann ich schreiben als [mm]3\cdot (X^2-2)[/mm] wobei beide
> Faktoren ungleich [mm]-1[/mm] und [mm]1[/mm] sind. Da dies genau die
> Einheiten in [mm]\mathbb{Z}[/mm] sind, ist das Polynom in
> [mm]\mathbb{Z}[X][/mm] zerlegbar (denn [mm]3[/mm] ist ein echter Teiler).
Genau.
> Da
> ich [mm]X^2-2[/mm] nur zu [mm](X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})[/mm] zerlegen kann,
> diese Faktoren aber nicht in [mm]\mathbb{Q}[X][/mm] liegen, ist das
> Polynom in [mm]\mathbb{Q}[X][/mm] nicht zerlegbar.
Ja. Hier kannst du auch folgendes Kriterium anwenden: ist $K$ ein Koerper und $f [mm] \in [/mm] K[x]$ ein Polynom vom Grad 2 oder 3, so ist $f$ genau dann irreduzibel, wenn $f$ keine Nullstelle in $K$ hat.
Da [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] nicht in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt, trifft das hier zu.
> Für das erste Polynom fällt mir nicht wirklich was ein, wie
> ich das zerlegen könnte. Die Nullstelle [mm]\sqrt[4]{7}[/mm] scheint
> mir auch nicht rational zu sein, dass ich nicht auf Anhieb
> eine Zerlegung angeben kann.
Sagt dir `Eisenstein' etwas?
LG Felix
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