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| Aufgabe | Ein Mammut wurde gefunden und es wurde sofort eine Altersbestimmung vorgenommen. Dabei wird die altersabhängige Konzentration N(t) des radioaktiven Kohlenstoffisotops C14 in den zu untersuchenden Geweberesten erfasst und mit der relativ konstanten Konzentration N0 in lebenden Organismen verglichen.
Der Zerfall des radioaktiven Kohelenstoffs nach dem Tod eines Lebewesens folgt der Exponentialgleichung [mm] N(t)=N0*e^{-k*t}, [/mm] wobei k eine konstante nicht negative Zahl und t die seit dem Zeitpunkt des Todes vergangene Zeit in Jahren ist.
(1) Bestimmen Sie die Zerfallskonstante k des radioaktiven Kohlenstoffs C14 mit Hilfe der bekannten Halbwertszeit von t=5730 Jahren.
(2) Wie alt sind die Mammutreste etwa, wenn die c14-Konzentration nur noch 20% des Ausgangswertes N0 beträgt und wenn beim errechneten Alter eine Fehlertoleranz von +-10% berücksichtig werden muss?
(3) In einem Artikel wird beschrieben, dass die C14 Konzentration bei 20% des Ausgangswertes gelegen habe, was auf ein Alter von ca. 20 000 Jahren hindeute. Berechnen Sie zunächst die exakte C14 Konzentration bei diesem Alter und bewerten Sie danach die Vereinbarkeit der Angaben des Autors! |
Liebe community,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bitte euch zu schauen, ob meine Lösungen/Ansätze richtig sind und eventuell wie man das ein oder andere noch lösen kann (: Danke!
zu (1) ich denke [mm] k=\bruch{ln(2)}{5730} [/mm] --> k=0,00012
(2) also ich dachte mir das so: bei nur noch 20% müsste man doch rechnen
[mm] \bruch{ln(20)}{k}=24764,6 [/mm] Jahre.
und jetzt nochmal dasselbe mit 10 und 30 oder?
also
[mm] \bruch{ln(10)}{k}=19034,6
[/mm]
[mm] \bruch{ln(30)}{k}=28116,5
[/mm]
Denkt ihr, dass das so richtig ist? Bin mir recht unsicher ob es der Aufgabenstellung entspricht..
(3) Hier weiß ich nicht, was ich machen soll, da ich N0 nicht gegeben habe, somit kann ich die Gleichung nicht lösen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Di 24.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ein Mammut wurde gefunden und es wurde sofort eine
> Altersbestimmung vorgenommen. Dabei wird die
> altersabhängige Konzentration N(t) des radioaktiven
> Kohlenstoffisotops C14 in den zu untersuchenden
> Geweberesten erfasst und mit der relativ konstanten
> Konzentration N0 in lebenden Organismen verglichen.
> Der Zerfall des radioaktiven Kohelenstoffs nach dem Tod
> eines Lebewesens folgt der Exponentialgleichung
> [mm]N(t)=N0*e^{-k*t},[/mm] wobei k eine konstante nicht negative
> Zahl und t die seit dem Zeitpunkt des Todes vergangene Zeit
> in Jahren ist.
> (1) Bestimmen Sie die Zerfallskonstante k des radioaktiven
> Kohlenstoffs C14 mit Hilfe der bekannten Halbwertszeit von
> t=5730 Jahren.
> (2) Wie alt sind die Mammutreste etwa, wenn die
> c14-Konzentration nur noch 20% des Ausgangswertes N0
> beträgt und wenn beim errechneten Alter eine
> Fehlertoleranz von +-10% berücksichtig werden muss?
> (3) In einem Artikel wird beschrieben, dass die C14
> Konzentration bei 20% des Ausgangswertes gelegen habe, was
> auf ein Alter von ca. 20 000 Jahren hindeute. Berechnen Sie
> zunächst die exakte C14 Konzentration bei diesem Alter und
> bewerten Sie danach die Vereinbarkeit der Angaben des
> Autors!
> Liebe community,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bitte euch zu schauen, ob meine Lösungen/Ansätze
> richtig sind und eventuell wie man das ein oder andere noch
> lösen kann (: Danke!
>
> zu (1) ich denke [mm]k=\bruch{ln(2)}{5730}[/mm] --> k=0,00012
[mm] $N(t)=N_{0}\cdot e^{-kt}$ [/mm] führt mit t=5730 und [mm] N(5370)=0,5N_{0} [/mm] in der Tat zu
[mm] $0,5N_{0}=N_{0}\cdot e^{-5730k}$
[/mm]
Beide Seiten [mm] :N_{0}
[/mm]
[mm] $0,5=e^{-5730k}$
[/mm]
Auf beiden Seiten den ln
[mm] \ln(0,5)=-5730k
[/mm]
Beide Seiten :(-5730)
[mm] k=-\frac{\ln(0,5)}{5730}\approx0,00012
[/mm]
Dein Wert stimmt, der ln(2) aber nicht.
>
> (2) also ich dachte mir das so: bei nur noch 20% müsste
> man doch rechnen
> [mm]\bruch{ln(20)}{k}=24764,6[/mm] Jahre.
> und jetzt nochmal dasselbe mit 10 und 30 oder?
> also
> [mm]\bruch{ln(10)}{k}=19034,6[/mm]
> [mm]\bruch{ln(30)}{k}=28116,5[/mm]
> Denkt ihr, dass das so richtig ist? Bin mir recht unsicher
> ob es der Aufgabenstellung entspricht..
>
Du hast also, mit eben berechnetem k:
[mm] $N(t)=N_{0}\cdot e^{-0,00012t}$
[/mm]
Nun berechne das t, für das 20% vorhanden sind, also
[mm] $0,2N_{0}=N_{0}\cdot e^{-0,00012t}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow0,2=e^{-0,00012t}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\ln(0,2)=-0,00012t$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow t=\frac{\ln(0,2)}{-0,00012}\approx [/mm] 13300$
Nun Berechne noch 90% und 110% von eben diesen 13300 Jahren, und du das dem Bereich, in dem das Alter liegt.
> (3) Hier weiß ich nicht, was ich machen soll, da ich N0
> nicht gegeben habe, somit kann ich die Gleichung nicht
> lösen...
Das hast du doch bisher auch nicht.
Berechne [mm] N(20.000)=N_{0}\cdot e^{-0,0012\cdot20.000}\approx0,089N_{0} [/mm] und setze das in Relation zur Aufgabe.
Marius
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Hey, Danke für die schnelle Antwort!
(1) Halbwertszeit stimmt.. ich dummie danke!
(2) okay also bei 20% ln(0,2)/-k
kann ich das dann bei den anderen Prozenten auch so machen?
ln(0,1)/-k = 19034,6
ln(0,3)/-k = 9952,81
?
(3) okay ich bekomme eine Konzentration von 0,89*N0 heraus aber wie soll ich das bewerten, wenn ich keine Ausgangskonzentration habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Di 24.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Halloi
> Hey, Danke für die schnelle Antwort!
> (1) Halbwertszeit stimmt.. ich dummie danke!
> (2) okay also bei 20% ln(0,2)/-k
> kann ich das dann bei den anderen Prozenten auch so
> machen?
> ln(0,1)/-k = 19034,6
> ln(0,3)/-k = 9952,81
Du musst doch nur noch 90% und 110% der 30.000 Jahre berechnen. In dem Intervall liegt dann das Alter.
> ?
>
> (3) okay ich bekomme eine Konzentration von 0,89*N0 heraus
> aber wie soll ich das bewerten, wenn ich keine
> Ausgangskonzentration habe?
Wieviel % sind denn [mm] 0,089N_{0} [/mm] von [mm] $N_{0}$?
[/mm]
Marius
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(2) somit ergibt sich bei mir
110% von 13304,6 = 14635,1 Jahre
90% von 13304,6 = 11974,2 Jahre.
Stimmt das?
(3) Ich weiß nicht, wie ich es rechnen soll, es tut mir leid.. Wie soll ich 0,089 von N0 ausrechnen, wenn ich N0 nicht gegeben habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Di 24.03.2015 | | Autor: | chrisno |
> (2) somit ergibt sich bei mir
> 110% von 13304,6 = 14635,1 Jahre
> 90% von 13304,6 = 11974,2 Jahre.
> Stimmt das?
Ja, aber nun solltest Du das auch passend angeben. wenn es locker Tausend Jahre mehr oder weniger sein können, dann macht die Angabe von Nachkommastellen keinen Sinn. Meinetwegen: 13300 Jahre plus/minus 1300 Jahre
>
> (3) Ich weiß nicht, wie ich es rechnen soll, es tut mir
> leid.. Wie soll ich 0,089 von N0 ausrechnen, wenn ich N0
> nicht gegeben habe?
Es ist egal, wie groß N0 ist. Du kannst N0=1 setzen. Setze es 100, und Du hast N(20000) direkt in Prozent. t hast Du, k auch.
$ [mm] N(t)=N_{0}\cdot e^{-kt} [/mm] $
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Di 24.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo
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> > Ein Mammut wurde gefunden und es wurde sofort eine
> > Altersbestimmung vorgenommen. Dabei wird die
> > altersabhängige Konzentration N(t) des radioaktiven
> > Kohlenstoffisotops C14 in den zu untersuchenden
> > Geweberesten erfasst und mit der relativ konstanten
> > Konzentration N0 in lebenden Organismen verglichen.
> > Der Zerfall des radioaktiven Kohelenstoffs nach dem Tod
> > eines Lebewesens folgt der Exponentialgleichung
> > [mm]N(t)=N0*e^{-k*t},[/mm] wobei k eine konstante nicht negative
> > Zahl und t die seit dem Zeitpunkt des Todes vergangene
> Zeit
> > in Jahren ist.
> > (1) Bestimmen Sie die Zerfallskonstante k des
> radioaktiven
> > Kohlenstoffs C14 mit Hilfe der bekannten Halbwertszeit
> von
> > t=5730 Jahren.
> > (2) Wie alt sind die Mammutreste etwa, wenn die
> > c14-Konzentration nur noch 20% des Ausgangswertes N0
> > beträgt und wenn beim errechneten Alter eine
> > Fehlertoleranz von +-10% berücksichtig werden muss?
> > (3) In einem Artikel wird beschrieben, dass die C14
> > Konzentration bei 20% des Ausgangswertes gelegen habe,
> was
> > auf ein Alter von ca. 20 000 Jahren hindeute. Berechnen
> Sie
> > zunächst die exakte C14 Konzentration bei diesem Alter
> und
> > bewerten Sie danach die Vereinbarkeit der Angaben des
> > Autors!
> > Liebe community,
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Ich bitte euch zu schauen, ob meine Lösungen/Ansätze
> > richtig sind und eventuell wie man das ein oder andere
> noch
> > lösen kann (: Danke!
> >
> > zu (1) ich denke [mm]k=\bruch{ln(2)}{5730}[/mm] --> k=0,00012
>
> [mm]N(t)=N_{0}\cdot e^{-kt}[/mm] führt mit t=5730 und
> [mm]N(5370)=0,5N_{0}[/mm] in der Tat zu
> [mm]0,5N_{0}=N_{0}\cdot e^{-5730k}[/mm]
> Beide Seiten [mm]:N_{0}[/mm]
> [mm]0,5=e^{-5730k}[/mm]
> Auf beiden Seiten den ln
> [mm]\ln(0,5)=-5730k[/mm]
> Beide Seiten :(-5730)
> [mm]k=-\frac{\ln(0,5)}{5730}\approx0,00012[/mm]
>
> Dein Wert stimmt, der ln(2) aber nicht.
Hmm... vielleicht uebersehe ich was, aber ist ln(2) nicht gerade - ln(0,5)?
>
>
> >
> > (2) also ich dachte mir das so: bei nur noch 20%
> müsste
> > man doch rechnen
> > [mm]\bruch{ln(20)}{k}=24764,6[/mm] Jahre.
> > und jetzt nochmal dasselbe mit 10 und 30 oder?
> > also
> > [mm]\bruch{ln(10)}{k}=19034,6[/mm]
> > [mm]\bruch{ln(30)}{k}=28116,5[/mm]
> > Denkt ihr, dass das so richtig ist? Bin mir recht
> unsicher
> > ob es der Aufgabenstellung entspricht..
> >
>
> Du hast also, mit eben berechnetem k:
> [mm]N(t)=N_{0}\cdot e^{-0,00012t}[/mm]
>
> Nun berechne das t, für das 20% vorhanden sind, also
> [mm]0,2N_{0}=N_{0}\cdot e^{-0,00012t}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow0,2=e^{-0,00012t}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow\ln(0,2)=-0,00012t[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow t=\frac{\ln(0,2)}{-0,00012}\approx 13300[/mm]
>
> Nun Berechne noch 90% und 110% von eben diesen 13300
> Jahren, und du das dem Bereich, in dem das Alter liegt.
>
> > (3) Hier weiß ich nicht, was ich machen soll, da ich N0
> > nicht gegeben habe, somit kann ich die Gleichung nicht
> > lösen...
>
> Das hast du doch bisher auch nicht.
> Berechne [mm]N(20.000)=N_{0}\cdot e^{-0,0012\cdot20.000}\approx0,089N_{0}[/mm]
> und setze das in Relation zur Aufgabe.
>
> Marius
Gruss,
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Mi 25.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo chris
> >
> > Dein Wert stimmt, der ln(2) aber nicht.
>
> Hmm... vielleicht uebersehe ich was, aber ist ln(2) nicht
> gerade - ln(0,5)?
>
Du hast natürlich recht, das hab ich mal stumpf übersehen.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Mi 25.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo chrisno
"Namen sind Schall und Rauch", aber Chris ;)
>
> > >
> > > Dein Wert stimmt, der ln(2) aber nicht.
> >
> > Hmm... vielleicht uebersehe ich was, aber ist ln(2)
> nicht
> > gerade - ln(0,5)?
> >
>
> Du hast natürlich recht, das hab ich mal stumpf
> übersehen.
>
> Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Fr 27.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Chris.
Sorry, ich hatte den Beitrag irgendwie dem User Chrisno zugeschrieben.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Fr 27.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo Chris.
>
> Sorry, ich hatte den Beitrag irgendwie dem User Chrisno
> zugeschrieben.
>
> Marius
Kein Ding ;)
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