Zerfall < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 So 10.04.2005 | | Autor: | Spy-Nap |
Hallo,
ich verstehe nicht genau was diese Gleichung und die Lösung davon nicht so ganz.
Ich hoffe jemand wird schlauer draus.
N(t)= k * e^(x*t) + C
k * x * e^(x*t) + k * [mm] \lambda [/mm] * e^(x*t) + C = 0
e^(x*t) * (k * x + k * [mm] \lambda [/mm] ) + C = 0 | gilt für alle t [mm] \Rightarrow [/mm] C = 0
k * x = -k * [mm] \lambda [/mm] | da e^(x*t) [mm] \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] x = - [mm] \lambda [/mm] | k darf nicht 0 sein, da sonst N(t) immer 0 ist
der Teil bis hier ist mir nicht klar, der danach schon.
Zur Zeit t = 0 gilt N(0) = k * (e^(x*t)) = k * (e^(x*0)) = k
[mm] \Rightarrow [/mm] k = [mm] N_{0}
[/mm]
Somit N(t) = [mm] N_{0} [/mm] * e^(- [mm] \lambda [/mm] * t)
Würde mich über schnelle Hilfe sehr freuen.
Zu erwähnen wäre noch das dem, dies hier vorran ging:
Die Zahl der im Zeitabschnitt [mm] \Delta [/mm] t zerfallenen Atome N(t) ist direkt proportional zu dem
Zeitabschnitt [mm] \Delta [/mm] t und zur Zahl N(t) der noch unzerfallenen Atome
[mm] \Delta [/mm] N(t) = - [mm] \lambda [/mm] * N(t) * [mm] \Delta [/mm] t
[mm] \bruch{ \Delta N(t)}{ \Delta t} [/mm] = - [mm] \lambda [/mm] * N(t)
N(t) = - [mm] \lambda [/mm] * N(t)
Vielen Dank
Spy-Nap
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum auf keiner anderen Seite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Zai-Ba |
Hallo Syp-Nap,
Fangen wir mal damit an, was radioaktiver Zerfall überhaupt ist. Da sind Atomkerne, in einem metastabilen Zustand, d.h. sie würden gerne ihren Zustand ändern (zerfallen), aber irgendwas hindert sie daran. In der Chemie geht es dann meistens um irgendwelche Energieen. in der Kernphysik ist das ein großer Streitpunkt, warum Atome plötzlich, anscheinend ohne äußere Einwirkung zerfallen (Stichwort: Schrödingers Katze). Nehmen wir mal an, in jedem Atom sitzt ein kleines Männchen und würfelt. sobald es eine sechs gewürfelt hat, spaltet sich der Kern. Am Anfang gibt es viele 'Würfelmännchen', also wird auch häufig die sechs gewürfelt, also zerfallen auch häufig Atome. Je weniger Atome da sind, umso geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass viele zerfallen. [Sorry für die blöde Formulierung]
Wann genau ein bestimmtes Atom zerfällt kann man nicht vorhersagen, aber wenn genug Atome vorhanden sind, kann man mit relativ hoher Wahrscheinlichkeit sagen, wann die Hälfte aller Atome zerfallen ist ( [mm] \Rightarrow [/mm] Halbwertszeit)
Die Gleichungen mit denen du nun Probleme hast sind die Lösung einer sogenannten Differentialgleichung.
Man hat sich dabei folgendes überlegt: meine Zerfallsgeschwindigkeit ist direkt proportional zur Anzahl der (noch) vorhandenen Atome (Je mehr Würfel fallen, umso mehr Sechser werden dabei sein). Genau das sagt die zweite Gleichung im Anhang aus.
[mm] \bruch{\Delta N(t)}{\Delta t}=\lambda*N(t)
[/mm]
wenn du nun eine ganz (unendlich) kurze Zeitspanne betrachtest, kannst Du schreiben
[mm] \bruch{dN(t)}{dt}=\lambda*N(t)
[/mm]
Die Gleichung sagt: Suche eine Funktion für N(t), die man nach t ableiten kann. Diese muss dann ein k-faches der Ursprungsfunktion sein.
Mit einigen mathematischen Kniffen, die ich im dritten Semester gelernt (und vor dem Vierten wieder vergessen  ) habe, bekommt man eine Gleichung für N(t) heraus, und zwar:
[mm] N(t)=k*e^{x*t}+C [/mm]
Das ist die allgemeinste Form der Lösung. jetzt müssen noch die Parameter k und C durch geschickte Wahl der Randbedingungen bestimmt werden.
Ab hier werde ich versuchen die Schritte deines Lehrers nach zuvollziehen/zu erläutern.
Er hat nun die Gleichung ober in die Differentialgleichung eingesetzt. Dabei hat er zunächst die Gleichung nach t abgeleitet
[mm] \bruch{d(k*e^{x*t}+C)}{dt}=k*\bruch{de^{x*t}}{dt}+\bruch{C}{dt}=k*x*e^{x*t}+0
[/mm]
dann die gesamte Differentialgleichung auf eine Seite gebracht (dann kann man besser sehen, was Null sein muss)
[mm] \bruch{dN(t)}{dt}-\lambda*N(t)=0
[/mm]
Da [mm] \lambda [/mm] ein beliebig gewählter Parameter ist, bei dem nicht festgelegt ist, ob er positiv oder negativ ist, kann man einfach das Vorzeichen mit reinziehen.
[mm] \bruch{dN(t)}{dt}+\lambda*N(t)=0
[/mm]
nach einsetzen der Lösung ergibt sich:
[mm] k*x*e^{x*t}+\lambda*k*e^{x*t}+\lambda*C=0
[/mm]
Das Spiel mit den Parametern können wir nun auch mit [mm] \lambda*C:=C' [/mm] treiben.
[mm] k*e^{x*t}*(x+\lambda)+C'=0
[/mm]
Jetzt einige Überlegungen zur Formel:
[mm] e^{x*t} [/mm] ist immer größer Null, aber nicht konstant, d.h. der ganze Kram vor dem Plus muss insgesamt Null ergeben, sonst geht die Gleichung nicht auf.
Wenn k gleich Null wäre, dann wäre [mm] N(t)=k*e^{x*t}+C [/mm] Unfug, es gäbe keinen Zerfall.
Also muss [mm] (x+\lambda)=0 [/mm] gelten [mm] \Rightarrow x=-\lambda
[/mm]
Bleibt noch übrig 0+C'=0 ...das überlasse ich jetzt deiner Phantasie
So, ich hoffe das war verständlich genug, wenn nicht, einfach nochmal ne (möglichst präzise) Frage posten!
Viel Erfolg, Zai-Ba
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Spy-Nap |
Zum ersten dessen Namen ich leider vergessen habe: Ich wusste nicht, dass das problem durch die anderen Klammern gelöst wird, werde es das nächste mal mit zusammen probieren, hatte nur leider am Sonntag keine.
@Zai-Ba
Vielen Dank, diese Erklärung ist ziemlich detailiert und genau, schon mehr als ich eigentlich gehofft habe.
Ich freu mich das es hier soviele schlaue Menschen gibt die einem helfen können.
*thumbs up* für Zai-Ba
Vielen Dank nochmal, ist alles geklärt.
MfG
Spy-Nap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Do 14.04.2005 | | Autor: | Spy-Nap |
Was mir vorher garnicht aufgefallen ist, warum ist C' eigentlich 0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Do 14.04.2005 | | Autor: | Zai-Ba |
Hi Spy-Nap,
Um es mathematisch zu erklären, nehmen wir die Gleichung
[mm] k\cdot{}e^{x\cdot{}t}\cdot{}(x+\lambda)+C'=0
[/mm]
In meinem letzten Artikel habe ich erklärt, warum
[mm] (x+\lambda)=0
[/mm]
sein muss. In die erste Gleichung eingesetzt ergibt das
[mm] 0+C'=0^{} [/mm] ,
denn
[mm] k\cdot{}e^{x\cdot{}t}\cdot{}0=0 [/mm] .
Physikalisch erklärt bedeutet
[mm] N(t)=N_{0}*e^{-\lambda*t}+C [/mm] ,mit [mm] C\not=0
[/mm]
dass nach unendlich langer Zeit [ [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}e^{-\lambda*t}=0 [/mm] ], wenn alle Kerne zerfallen sind, doch noch Kerne (außer den Spaltprodukten) übrig sind.
Kling irgendwie merkwürdig: Alle sind weg, aber einige sind noch da! (??)
Gruß, Zai-Ba
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Do 14.04.2005 | | Autor: | Spy-Nap |
Hmm ja das ist logisch, hätte ich auch selbst drauf kommen können, doch leider liegen meine stärken inzwischen in anderen Gebieten.
Vielen Dank nochmal
Spy-Nap
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