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Zerfällungskörper / einf. Erw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Mi 08.09.2010
Autor: cantor


Hallo zusammen,

wieder einmal würde ich mich über Hinweise zu folgendem Problem freuen:

Es geht um den Beweis der Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers eines Polynoms. Der Beweis ist mir klar, mit Ausnahme eines Schrittes den ich hier skizzieren möchte:

Es ist [mm]m \in k[x][/mm], [mm]p[/mm] ist ein irreduzibler Teiler von [mm]m[/mm] und [mm]a[/mm] eine Nullstelle von [mm]p[/mm]. [mm]k(a)[/mm] ist die zugehörige einfache Körpererweiterung. [mm]K[/mm] ist ein Zerfällungskörper von [mm]m[/mm]. Nun heißt es im Beweis:

[mm]m = (x-a)*g[/mm] in [mm]k(a)[x][/mm]

Das ist klar, [mm]a[/mm] ist Nullstelle in [mm]k(a)[x][/mm], diese kann man in [mm]k(a)[x][/mm] "ausklammern".

Weiter heißt es:

[mm]K[/mm] ist ein Zerfällungskörper von [mm]g[/mm] über [mm]k(a)[/mm].

Das ist mir nicht klar. Die Nullstelle [mm]a[/mm] muss ja nicht in [mm]K[/mm] liegen. Wie kann man also allgemein zeigen, dass für eine beliebige Nullstelle diese Aussage gilt?

Besten Dank im Voraus für Eure Hinweise

cantor


        
Bezug
Zerfällungskörper / einf. Erw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Mi 08.09.2010
Autor: felixf

Moin cantor!

> wieder einmal würde ich mich über Hinweise zu folgendem
> Problem freuen:
>  
> Es geht um den Beweis der Eindeutigkeit des
> Zerfällungskörpers eines Polynoms. Der Beweis ist mir
> klar, mit Ausnahme eines Schrittes den ich hier skizzieren
> möchte:
>  
> Es ist [mm]m \in k[x][/mm], [mm]p[/mm] ist ein irreduzibler Teiler von [mm]m[/mm] und
> [mm]a[/mm] eine Nullstelle von [mm]p[/mm]. [mm]k(a)[/mm] ist die zugehörige einfache
> Körpererweiterung. [mm]K[/mm] ist ein Zerfällungskörper von [mm]m[/mm].
> Nun heißt es im Beweis:
>  
> [mm]m = (x-a)*g[/mm] in [mm]k(a)[x][/mm]
>
> Das ist klar, [mm]a[/mm] ist Nullstelle in [mm]k(a)[x][/mm], diese kann man
> in [mm]k(a)[x][/mm] "ausklammern".


Genau.

> Weiter heißt es:
>  
> [mm]K[/mm] ist ein Zerfällungskörper von [mm]g[/mm] über [mm]k(a)[/mm].
>  
> Das ist mir nicht klar. Die Nullstelle [mm]a[/mm] muss ja nicht in [mm]K[/mm]
> liegen. Wie kann man also allgemein zeigen, dass für eine
> beliebige Nullstelle diese Aussage gilt?

Doch: $K$ ist Zerfaellungskoerper von $m$ ueber $k$ und enthaelt somit alle Nullstellen von $m$, insbesondere auch $a$.

LG Felix



Bezug
                
Bezug
Zerfällungskörper / einf. Erw.: alles klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:39 Do 09.09.2010
Autor: cantor

Hallo Felix,

danke nochmal für die schnelle Antwort.

Ein Zerfällungskörper muss natürlich ALLE Nulstellen enthalten, das macht Sinn.

Wenn's nur immer so einfach wäre.

Viele Grüße,
cantor


Bezug
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