Zerfällungskörper/Galoisgruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:04 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Fips12 |
| Aufgabe | Sei [mm] L=\IQ(\wurzel{5},\wurzel{7}).
[/mm]
i) Berechne Gruppe aller Automorphismen von L
ii) zz. G=Gal(L/ [mm] \IQ)
[/mm]
iii) zz.: L ist Zerfällungskörper von [mm] f=(x^2-5)(x^2-7) [/mm] über [mm] \IQ.
[/mm]
iv) Wie kanm [mm] Gal_\IQ(f) [/mm] als Permutationsgruppe identifiziert werden.
|
Hallo ihr!
Ich versuche gerade obige Aufgabe zu lösen. Es wär total klasse, wenn sich mal jemand meine Lösungen anschauen und mich korrigieren könnte :) Danke!
zu i) und ii)
[mm] \phi_1: \wurzel{5} [/mm] -> [mm] \wurzel{5}, \wurzel{7} [/mm] -> [mm] \wurzel{7}
[/mm]
[mm] \phi_2: \wurzel{5} [/mm] -> [mm] \wurzel{5}, \wurzel{7} [/mm] -> - [mm] \wurzel{7}
[/mm]
[mm] \phi_3: \wurzel{5} [/mm] -> - [mm] \wurzel{5}, \wurzel{7} [/mm] -> [mm] \wurzel{7}
[/mm]
[mm] \phi_4: \wurzel{5} [/mm] ->- [mm] \wurzel{5}, \wurzel{7} [/mm] -> - [mm] \wurzel{7}
[/mm]
Hab diese Automorphismen durch den Fortsetzungssatz berechnet.
Da ich alle Automorphismen von L habe und für alle gilt, dass [mm] \phi [/mm] eingeschränkt auf [mm] \IQ [/mm] die Identität, gilt G=Gal(L/ [mm] \IQ)
[/mm]
zu iii)
Reicht es hier zu sagen, dass alle NS von f in L liegen, also f in L[X] in Linearfaktoren zerfällt und dass [mm] K(\wurzel{5},-\wurzel{5},\wurzel{7},-\wurzel{7})=L?
[/mm]
Muss ich die Gleichheit noch irgendwie beweisen?
Wie sieht es aus, wenn ich ein Polynom [mm] h=x^4-24x^2+4 [/mm] habe, die NS sind: [mm] a_1= \wurzel{5}+\wurzel{7}, a_2=\wurzel{7}-\wurzel{5} [/mm] und zeigen will, dass L auch Zerfällungskörper von h ist?
Reicht es, wenn ich sage, dass [mm] a_1,a_2 \el [/mm] L und die 4 anderen Wurzeln [mm] \el K(a_1,a_2)?
[/mm]
Wie operiert G auf [mm] a_1,a_2?
[/mm]
zu iv)
Ich hab versucht die Wurzeln mit den Zahlen 1,2,3,4 zu identifizieren und erhalten dann ja [mm] G\cong [/mm] {id,(12),(34),(12)(34)}.
Oder? Hat diese Gruppe einen Namen?
Danke für eure Mühe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 25.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
