Zerfällungskörper -Basis < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie eine Basis des Zerfällungskörpers von [mm] X^3-2 [/mm] über [mm] \mathbb{Q} [/mm] an. |
Hallo,
es sollte gelten: [mm] X^{3}-2=(X-\sqrt[3]{2})\left( X+\sqrt[3]{2}\left( -\frac{1}{2}+\frac{i}%
{2}\sqrt{3}\right) \right) \left( X+\sqrt[3]{2}\left( -\frac{1}{2}%
-\frac{i}{2}\sqrt{3}\right) \right).
[/mm]
Ganz naiv hätte ich jetzt den Zerfällungskörper so aufgeschrieben: [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\zeta_3,\sqrt[3]{2}\zeta_{3}^{2}).
[/mm]
Er wird aber überall nur so angegeben: [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\zeta_3).
[/mm]
Warum reicht es wenn man nur die eine primite komplexe Einheitswurzel adjungiert. Ist in dem entstandenen Körper die andere automatisch drin?
Wenn ich von [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\zeta_3) [/mm] ausgehe, komme ich zu der Basis: [mm] {1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{2}\zeta_3,\sqrt[3]{4}\zeta_3}.
[/mm]
In der Basis ist dann [mm] (\zeta_3)^2 [/mm] nicht enthalten.
Wieso ist das so?
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Mo 14.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Geben Sie eine Basis des Zerfällungskörpers von [mm]X^3-2[/mm]
> über [mm]\mathbb{Q}[/mm] an.
> Hallo,
>
> es sollte gelten: [mm]X^{3}-2=(X-\sqrt[3]{2})\left( X+\sqrt[3]{2}\left( -\frac{1}{2}+\frac{i}%
{2}\sqrt{3}\right) \right) \left( X+\sqrt[3]{2}\left( -\frac{1}{2}%
-\frac{i}{2}\sqrt{3}\right) \right).[/mm]
>
> Ganz naiv hätte ich jetzt den Zerfällungskörper so
> aufgeschrieben:
> [mm]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\zeta_3,\sqrt[3]{2}\zeta_{3}^{2}).[/mm]
>
> Er wird aber überall nur so angegeben:
> [mm]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\zeta_3).[/mm]
>
> Warum reicht es wenn man nur die eine primite komplexe
> Einheitswurzel adjungiert. Ist in dem entstandenen Körper
> die andere automatisch drin?
Na klar, [mm] $\IQ(\sqrt[]{2}, \zeta_3)$ [/mm] ist doch ein Koerper und enthaelt somit auch [mm] $\zeta_3^2 [/mm] = [mm] \zeta_3 \cdot \zeta_3$.
[/mm]
> Wenn ich von [mm]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\zeta_3)[/mm] ausgehe, komme
> ich zu der Basis:
> [mm]{1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{2}\zeta_3,\sqrt[3]{4}\zeta_3}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> In der Basis ist dann [mm](\zeta_3)^2[/mm] nicht enthalten.
> Wieso ist das so?
Warum sollte [mm] $\zeta_3^2$ [/mm] da drinnen enthalten sein? Das muss doch ueberhaupt nicht.
Es ist doch [mm] $\zeta_3^2 [/mm] + [mm] \zeta_3 [/mm] + 1 = 0$, also [mm] $\zeta_3^2 [/mm] = [mm] -\zeta_3 [/mm] - 1$, womit sich [mm] $\zeta_3^2$ [/mm] bzgl. dieser Basis darstellen laesst.
LG Felix
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Hey,
ja darauf hätte ich selber kommen sollen.
Ich muss mich nochmal dem Ganzen widmen. Wenn wir das Polynom [mm] X^3-2 [/mm] haben und den Zerfällungskörper über [mm] \mathbb{Q} [/mm] berechnen wollen, dann berechne ich zunächst die Nullstellen. Dies sind [mm] \sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\zeta_{3},\sqrt[3]{2}\zeta_{3}^{2}, [/mm] d.h. der Zerfällungskörper ist [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\zeta_{3}). [/mm] Jetzt möchte ich den Grad bestimmen. Ich mache das zunächst mit dem Gradsatz, also [mm] [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\zeta_{3}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\zeta_{3}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}].
[/mm]
Es gilt recht offensichtlich [mm] [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3, [/mm] weil [mm] X^{3}-2 [/mm] Minimalpolyonm ist.
Betrachte ich nun das Minimalpolynom von [mm] \sqrt[3]{2}\zeta_{3} [/mm] über [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), [/mm] so ist das [mm] \frac{X^{3}-2}{X-\sqrt[3]{2}}\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[X]. [/mm] Und das hat Grad 2.
Also kommt bei dem Grad des Zerfällungskörper 6 raus über [mm] \mathbb{Q}. [/mm] Ist das zunächst richtig so?
Eigentlich gehts mir vielmehr um folgendes:
Ich betrachte einzeln [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) [/mm] und [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\zeta_{3}) [/mm] und will Basen bestimmen. Recht schnell geht das bei [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), [/mm] steht ja schon im vorherigen Post.
Was ist aber eine Basis von [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\zeta_{3}) [/mm] als Vektorraum über [mm] \mathbb{Q}? [/mm] Die sollte auch die Dimenson 3 haben.
Ich dachte zunächst an [mm] B=\{1,\sqrt[3]{2}\zeta_{3},\sqrt[3]{4}\zeta_{3}^{2}\}. [/mm] Ist das richtig (ist nur geraten)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 18.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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