Zerfällungskörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Mo 08.02.2010 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Bestimme den Zerfällungskörper folgender Polynome:
a) [mm] X^2 [/mm] + X +1 [mm] \in \IZ/2\IZ[X] [/mm] über [mm] \IZ/2\IZ
[/mm]
b) [mm] X^3 [/mm] + 1 [mm] \in \IZ/2\IZ[X] [/mm] über [mm] \IZ/2\IZ [/mm] |
Ich muss also zuerst die Nullstellen der Polynome herausfinden und den Körper danach mit diesen Nullstellen erweitern.
Das Polynom bei Aufgabe a) ist irreduzibel und besitzt also keine Nullstellen.
Also kann ich nun den Körper wie folgt erweitern:
[mm] \IZ/2\IZ[X]/(X^2+X+1).
[/mm]
Das wäre die Lösung.
Aber in diesem Körper ist ja das Polyonom [mm] X^2 [/mm] + X +1 [mm] \equiv [/mm] 0.
Weshalb handelt es sich denn hierbei nun um den Zerfällungsköper?
Gäbe es keine andere Möglichkeit, bei dem das Polynom dann nicht vollständig verschwinden würde?
Bei Aufagabe b) gehts ja dann ähnlich.
1 ist eine Wurzel. Also ist dann wieder um [mm] (X^3-1) [/mm] : (X+1) = [mm] X^2+X+1 [/mm] irreduzibel. Dann erweitere ich den Körper wieder gleich, also [mm] \IZ/2\IZ[X]/(X^2+X+1). [/mm]
Hier ist nun [mm] X^3 [/mm] + 1 ja wiederum [mm] \equiv [/mm] 0.
Mir ist einfach nicht ganz klar, weshalb man dies auf diese Weise machen muss.
Geht es einfach darum, den Körper so zu erweitern, damit das Polynom dann im neuen Körper ganz verschwindet?
Ist dies so, weil es einfach keine andere Möglichkeit gibt, das Polynom in der Form [mm] \lambda(X-a)(X-b)(X-c)...(X-n) [/mm] zu schreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Mo 08.02.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Bestimme den Zerfällungskörper folgender Polynome:
>
> a) [mm]X^2[/mm] + X +1 [mm]\in \IZ/2\IZ[X][/mm] über [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
>
> b) [mm]X^3[/mm] + 1 [mm]\in \IZ/2\IZ[X][/mm] über [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
> Ich muss also zuerst die Nullstellen der Polynome
> herausfinden und den Körper danach mit diesen Nullstellen
> erweitern.
>
> Das Polynom bei Aufgabe a) ist irreduzibel und besitzt also
> keine Nullstellen.
Umgekehrt: Es besitzt keine Nullstelle im Grundkörper, und weil es vom Grad 2 ist, ist es damit auch irreduzibel.
> Also kann ich nun den Körper wie folgt erweitern:
> [mm]\IZ/2\IZ[X]/(X^2+X+1).[/mm]
>
> Das wäre die Lösung.
Wie viele Elemente hat dieser Körper denn? Was weißt du so über endliche Körper?
> Aber in diesem Körper ist ja das Polyonom [mm]X^2[/mm] + X +1
> [mm]\equiv[/mm] 0.
Das ist ganz schlecht formuliert. Dieser Körper ist ein Restklassenring eines Polynomringes, und das o. a. Pol. ist kongruent zur 0.
> Weshalb handelt es sich denn hierbei nun um den
> Zerfällungsköper?
Weil das o.a. Pol. jetzt 2 Nullstellen hat. Die eine ist die Restklasse von X, such die andere mal selbst.
> Gäbe es keine andere Möglichkeit, bei dem das Polynom
> dann nicht vollständig verschwinden würde?
Das Polynom verschwindet ja nicht, es steht doch noch da, schwarz auf weiß.
> Bei Aufagabe b) gehts ja dann ähnlich.
> 1 ist eine Wurzel. Also ist dann wieder um [mm](X^3-1)[/mm] : (X+1)
> = [mm]X^2+X+1[/mm] irreduzibel. Dann erweitere ich den Körper
> wieder gleich, also [mm]\IZ/2\IZ[X]/(X^2+X+1).[/mm]
> Hier ist nun [mm]X^3[/mm] + 1 ja wiederum [mm]\equiv[/mm] 0.
>
> Mir ist einfach nicht ganz klar, weshalb man dies auf diese
> Weise machen muss.
> Geht es einfach darum, den Körper so zu erweitern, damit
> das Polynom dann im neuen Körper ganz verschwindet?
Es geht darum, den kleinsten Oberkörper zu finden, in dem das Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 08.02.2010 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
Also dieser Körper hat dann 4 Elemente.
Nämlich [mm] \overline{0}, \overline{1}, \overline{X} [/mm] und [mm] \overline{X+1}.
[/mm]
Die Nullstellen wären dann also [mm] \overline{X} [/mm] und [mm] \overline{X+1}.
[/mm]
Also kann das Polynom [mm] X^2 [/mm] + X + 1 in diesem Körper geschrieben werden als
[mm] X^2 [/mm] + X + 1 = [mm] (X-\overline{X})(X-\overline{X+1}). [/mm] Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mo 08.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Die Nullstellen wären dann also [mm]\overline{X}[/mm] und
> [mm]\overline{X+1}.[/mm]
Wie kommst du auf diese Nullstelle? (Sie ist richtig, ich frag mich nur, warum du es so messerscharf folgerst).
> Also kann das Polynom [mm]X^2[/mm] + X + 1 in diesem Körper
> geschrieben werden als
>
> [mm]X^2[/mm] + X + 1 = [mm](X-\overline{X})(X-\overline{X+1}).[/mm] Stimmt
> das?
Wenn du nicht mit den Bezeichnungen von X durcheinander gerätst, und was woher herkommt. Aber prinzipiell richtig!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Mo 15.02.2010 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
> Sie ist richtig, ich
> frag mich nur, warum du es so messerscharf folgerst
Mir ist nicht ganz klar, weshalb dies einfach so klappt, indem man das Polyonom [mm] X^2+X+1 [/mm] als Nebenklasse zu [mm] \IZ/2\IZ[X] [/mm] hinzufügt.
Wenn ich z.B. ein anderes Beispiel betrachte:
[mm] X^2-3 \in \IQ[X].
[/mm]
Der Zerfällungskörper über [mm] \IQ [/mm] erhalte ich, indem ich die Nullstellen zum Körper [mm] \IQ [/mm] adjungiere. Also [mm] \IQ(\wurzel{3}).
[/mm]
Beim Beispiel von [mm] X^2+X+1 \in \IZ/2\IZ[X] [/mm] geht dies nicht und ich muss anders vorgehen um den Zerfällungkörper zu erhalten.
Weshalb funktioniert dies im Beispiel von [mm] X^2+X+1 \in \IZ/2\IZ[X] [/mm] so anders?
Ich kann mir es einfach nicht erklären, weshalb ich so den Zerfällungkörper erhalte, indem ich den Körper [mm] \IZ/2\IZ[X] [/mm] zu [mm] \IZ/2\IZ[X]/(X^2+X+1) [/mm] verändere.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Mir ist nicht ganz klar, weshalb dies einfach so klappt,
> indem man das Polyonom [mm]X^2+X+1[/mm] als Nebenklasse zu
> [mm]\IZ/2\IZ[X][/mm] hinzufügt.
??? Das ist keine Nebenklasse, man teilt aus dem Polnomring das Ideal, was von [m]X^2+X+1[/m] erezeugt wird, heraus.
> Der Zerfällungskörper über [mm]\IQ[/mm] erhalte ich, indem ich
> die Nullstellen zum Körper [mm]\IQ[/mm] adjungiere. Also
> [mm]\IQ(\wurzel{3}).[/mm]
Das ist aber nicht der Algebraweg - der geht andersrum. Du hast hier Glück, dass du in [m]\IR[/m] sowieso eine Nullstelle des Polynoms findest. Dann betrachtestet du den kleinsten Unterkörper - von [m]\IR[/m] ausgehend. In der ALgebra geht es andersrum: du hast ein irreduzibles Polynom, das teilst du aus dem Polynomring heraus - und damit wird die Restklasse X dann eine Nullstelle des Polynoms. Diese Konstruktion braucht keinen Oberkörper.
> Beim Beispiel von [mm]X^2+X+1 \in \IZ/2\IZ[X][/mm] geht dies nicht
> und ich muss anders vorgehen um den Zerfällungkörper zu
> erhalten.
Eigentlich geht man immer so vor, dass man Nullstellen adjungiert. X ist ja in dem Beispiel eine Nullstelle des Polynoms, also quasi die Nst. X adjungiert. Sieht nicht so schön aus mit Wurzeln und so, naja.
> Weshalb funktioniert dies im Beispiel von [mm]X^2+X+1 \in \IZ/2\IZ[X][/mm]
> so anders?
Tut es eben nicht.
> Ich kann mir es einfach nicht erklären, weshalb ich so
> den Zerfällungkörper erhalte, indem ich den Körper
> [mm]\IZ/2\IZ[X][/mm]
Nein, das ist der Polynomring, der kein Körper ist.
> zu [mm]\IZ/2\IZ[X]/(X^2+X+1)[/mm] verändere.
Dies ist ein Körper. Warum und wieso und so weiter würde hier wohl den Rahmen sprengen - das ist die Körpertheorie, die man in der Algebra ausfzieht.
SEcki
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