Zentripetalkraft < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mi 28.06.2006 | | Autor: | nina13 |
| Aufgabe | | Warum ist Fz (Zentripetalkraft) proportional zu 1/r (Radius)? |
Ich verstehe einfach den Zusammenhang und wie ich die Aufgabe angehen soll nicht. Soll ich es irgendwie herleiten?
Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet!
Ist sehr dringend!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Vll. kann dir folgende Herleitung etwas weiterhelfen...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Beobachten wir einen Massepunkt, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r in einer Zeit [mm] \Delta [/mm] t von Punkt 1 nach Punkt 2 bewegt. Gemäß dem Superpositionsprinzip können wir den Weg zerlegen in eine TANGENTIALE Komponente [mm] s_{1} [/mm] und eine RADIALE Komponente [mm] s_{2}. [/mm] (Siehe alles in obiger Zeichung!)
Von der tangentialen Bewegung wissen wir, dass sie gleichförmig ist, von der radialen Bewegung, dass sie gleichmäßig beschleunigt ist (sonst würde der Massepunkt die Kreisbahn verlassen!)
Wir können also schreiben:
[mm] s_{1}=v*\Delta*t [/mm] (1)
sowie
[mm] s_{2}=\bruch{1}{2}*a_{Z}*\Delta*t^{2} [/mm] (2)
[mm] a_{Z} [/mm] ist unsere Zentripetalbeschleunigung.
Aus der Skizze sehen wir, dass nach dem Satz von Phytagoras gilt:
[mm] (s_{2}+r)^{2}=r^{2}+s_{1}^{2}
[/mm]
Auflösen der binomischen Formel links ergibt:
[mm] s_{2}^{2}+2*s_{2}*r+r^{2}=r^{2}+s_{1}^{2}
[/mm]
Das [mm] r^{2} [/mm] auf beiden Seiten fällt weg und wir ersetzen [mm] s_{1} [/mm] und [mm] s_{2} [/mm] durch (1) und (2):
[mm] \bruch{1}{4}*a_{Z}^{2}*\Delta*t^{4}+2*\bruch{1}{2}*a_{Z}*\Delta*t^{2}*r=v^{2}*\Delta*t^{2}
[/mm]
Wir dividieren beide Seiten durch [mm] \Delta*t^{2}:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}*a_{Z}^{2}*\Delta*t^{2}*r=v^{2}
[/mm]
Bilden wir nun den Grenzübergang für t, d.h. [mm] \Delta*t\rightarrow [/mm] 0 (praktisch ausgedrückt: wir setzen [mm] \Delta*t=0)
[/mm]
so erhalten wir für jeden Zeitpunkt für der Bahnbewegung die Zentripetalbeschleunigung:
[mm] a_{Z}*r=v^{2} [/mm]
bzw.
[mm] a_{z}=\bruch{v^{2}}{r}
[/mm]
Wir wissen allg., dass F=m*a ist. D.h. für die Zentripetalkraft erhalten wir
[mm] F_{Z}=a_{Z}*m=\bruch{m*v^{2}}{r}
[/mm]
und das ist ja wie du siehst nun proportional zu [mm] \bruch{1}{r}.
[/mm]
Alles klar soweit? Ich hoffe ich konnte etwas weiterhelfen!
Lg, Kübi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 28.06.2006 | | Autor: | nina13 |
Also irgendwie verstehe ich das alles überhaupt nicht :-(. Es liegt aber nicht an der Erklärung, sondern daran, dass ich die Zusammenhänge einfach nicht erkennen kann. Ich verstehe nicht, warum ich zum Beispiel die einzelnen Formeln ansetzen muss. Gibt es vielleicht noch eine andere (einfacherer) Erklärung?
Trotzdem vielen lieben Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Do 29.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nina
Ich versuchs mal:
1. F=m*a ich muss also nur die Beschleunigung suchen.
2. [mm] a=\bruch{\Delta v}{\Delta t}
[/mm]
Bei dergleichförmigen Kreisbewegung ändert sich allerdings nicht der Betrag von v sondern nur die Richtung. Ich hab mal ein Stück Kreis gemalt und die Geschwindigkeiten v1 und v2. sie stehen senkrecht auf den Radien.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Differenz v2-v1 kann man einzeichnen,wenn man beide Vektoren vom selben Punkt aus zeichnet, die Verbindung der Spitzen ist dann dv=v2-v1.
Jetzt kommt ein bissel Geometrie und rRechnung:
Das Dreieck aus den 2 Radien und dem Weg ds=c und das Dreieck aus v1,v2 und dv sind ähnlich. (allerdings ist eigentlich ds ein Kreisbogen, dv eine Strecke, aber für seehr kleine Winkel ist das egal)
Wegen der Ähnlichkeit gilt: ds/r=dv/v wobei v der Betrag der Geschwindigkeit, und damit die "Länge" von v1 und v2 ist.
Aus ds/r=dv/v folgt dv=v/r*ds
Wenn ich beide Seiten durch dt teile, wobei dt die Zeit für das Stück ds dann hab ich:
dv/dt=v/r*ds/dt ds/dt ist aber die Geschwindigkeit v also insgesamt: dv/dt=v*v*1/r ! und dv/dt=a
(ich hab immer d statt Delta geschrieben)
Das ist alles sehr theoretisch! Wenn dus wirklich "begreifen" willst
musst du ein Miniexperiment machen: Nimm einen nicht zu leichten Gegenstand an einer Schnur und schleudere ihn um deine Hand rum.
Dann nimm 2 deutlich verschiedene Radien und versuch die Geschwindigkeit bei beiden gleich zu halten!
Wenn die Schnur =Radius halb so lang ist, muss der Gegenstand doppelt so oft pro sek rum, dann hast du dieselbe Geschwindigkeit! Und dann kannst du "fühlen" dass die Kraft bei doppeltem Radius kleiner ist!
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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