Zentralisator trivial < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 Do 06.12.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | H [mm] \leq [/mm] G. [mm] C_{G}(H)=\{1\}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \forall [/mm] I [mm] \leq [/mm] G, H [mm] \subset [/mm] I: Z(G) = [mm] \{1\} [/mm] |
Hallo!
Ich bräuchte wieder hilfe bei einer Gruppentheorie-Aufgabe.
Die Hinrichtung habe ich hinbekommen:
H [mm] \subset [/mm] I [mm] \leq [/mm] G [mm] \Rightarrow C_{G}(I) \subset C_{G}(H) [/mm] = [mm] \{1\}. [/mm] Da Z(I) = [mm] C_{G}(I) [/mm] ist, sind wir hier schon fertig.
Bei der Rückrichtung wollte ich jetzt einen Widerspruchsbeweis versuchen, finde aber den Widerspruch nicht ;)
Ich nehme also an: [mm] \forall [/mm] I [mm] \leq [/mm] G und H [mm] \subset [/mm] I: Z(I) = [mm] \{1\} [/mm] = [mm] \{x \in I | xi = ix \forall i \in I\}.
[/mm]
Dann kann aber doch trotzdem [mm] \{x \in H | xh = hx \forall h\in H\} [/mm] mehr Elemente als nur 1 haben oder? Da dieses Element ja nicht mit den [mm] I\backslash [/mm] H kommutieren muss oder?
Kann mir jemand einen Hinweis geben? Ist vielleicht der direkte Beweis hier besser?
Lg! Loko
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Do 06.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> H [mm]\leq[/mm] G. [mm]C_{G}(H)=\{1\}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\forall[/mm] I [mm]\leq[/mm] G, H [mm]\subset[/mm] I: Z(G) = [mm]\{1\}[/mm]
In der letzen Zeile hinten soll es $Z(I)$ heissen und nicht $Z(G)$, oder?
> Ich bräuchte wieder hilfe bei einer
> Gruppentheorie-Aufgabe.
>
> Die Hinrichtung habe ich hinbekommen:
> H [mm]\subset[/mm] I [mm]\leq[/mm] G [mm]\Rightarrow C_{G}(I) \subset C_{G}(H)[/mm] =
> [mm]\{1\}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da Z(I) = [mm]C_{G}(I)[/mm] ist,
Das stimmt aber nicht! [mm] $C_G(I)$ [/mm] kann auch Elemente aus $G$ enthalten, die nicht in $I$ liegen. Richtig waere also $Z(I) = [mm] C_G(I) \cap [/mm] I$. (Das ist uebrigens das gleiche wie [mm] $Z_I(I)$.)
[/mm]
> sind wir hier schon fertig.
Mit der Anpassung laeuft's auf dasselbe hinaus :)
> Bei der Rückrichtung wollte ich jetzt einen
> Widerspruchsbeweis versuchen, finde aber den Widerspruch
> nicht ;)
Mach es doch direkt. Nimm dir $h [mm] \in C_G(H)$ [/mm] und schau $I = [mm] \langle [/mm] H, h [mm] \rangle$ [/mm] an. Ueberlege dir, dass $I = [mm] \{ h^n h' \mid n \in \IZ, \; h' \in H \}$ [/mm] ist, und dass somit $h [mm] \in [/mm] Z(I)$ ist. Folgere, dass $h = 1$ sein muss.
> Ich nehme also an: [mm]\forall[/mm] I [mm]\leq[/mm] G und H [mm]\subset[/mm] I: Z(I) =
> [mm]\{1\}[/mm] = [mm]\{x \in I | xi = ix \forall i \in I\}.[/mm]
>
> Dann kann aber doch trotzdem [mm]\{x \in H | xh = hx \forall h\in H\}[/mm]
> mehr Elemente als nur 1 haben oder? Da dieses Element ja
> nicht mit den [mm]I\backslash[/mm] H kommutieren muss oder?
Ja.
> Kann mir jemand einen Hinweis geben? Ist vielleicht der
> direkte Beweis hier besser?
Du kannst auch einen Widerspruchsbeweis machen: nimm $h [mm] \in C_G(H) \setminus \{ 1 \}$. [/mm] Konstruiere dann wie oben ein $I$ mit $Z(I) [mm] \neq \{ 1 \}$. [/mm] Laeuft aber auf das gleiche wie oben hinaus, und da ein direkter Beweis hier genauso elegant ist, mach lieber einen direkten :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Do 06.12.2012 | | Autor: | Loko |
Zunächst, vielen Dank Felix!!
Ja, es sollte Z(I) heißen.. ups! Und danke für die Korrektur mit Z(I) und [mm] C_{G}(I). [/mm] Das hatte ich irgendwo gelesen, aber anscheinend die nötigen Voraussetzungen vergessen ;)
Zur Rückrichtung:
Also, ich nehme h [mm] \in C_{G}(H).
[/mm]
I := <H,h> = [mm] \{h^{n}h' | n \in \IZ, h' \in H\}.
[/mm]
Da h [mm] \in C_{G}(H) [/mm] ist, gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] H: hx = xh.
Also kommutiert h mit allen Elementen in I.
[mm] \Rightarrow [/mm] h [mm] \in [/mm] Z(I) = [mm] \{i \in I | xi = ix \forall x \in I = \}
[/mm]
Aber da nach Annahme [mm] Z(I)=\{1\} [/mm] ist, folg h = 1.
h haben wir als beliebiges Element von [mm] C_{G}(H) [/mm] gewählt, also folg, dass [mm] C_{G}(H)=\{1\} [/mm] ist.
Ist das ok so?
Danke nochmal :) und Lg
Loko
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Do 06.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Loko!
> Ja, es sollte Z(I) heißen.. ups! Und danke für die
> Korrektur mit Z(I) und [mm]C_{G}(I).[/mm] Das hatte ich irgendwo
> gelesen, aber anscheinend die nötigen Voraussetzungen
> vergessen ;)
>
> Zur Rückrichtung:
>
> Also, ich nehme h [mm]\in C_{G}(H).[/mm]
> I := <H,h> = [mm]\{h^{n}h' | n \in \IZ, h' \in H\}.[/mm]
Du wirst noch begruenden muessen, warum $I$ wirklich diese Form hat, also warum [mm] $\langle [/mm] H, h [mm] \rangle$ [/mm] so einfach aussieht.
> Da h [mm]\in C_{G}(H)[/mm] ist, gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] H: hx = xh.
> Also kommutiert h mit allen Elementen in I.
> [mm]\Rightarrow[/mm] h [mm]\in[/mm] Z(I) = [mm]\{i \in I | xi = ix \forall x \in I = \}[/mm]
>
> Aber da nach Annahme [mm]Z(I)=\{1\}[/mm] ist, folg h = 1.
> h haben wir als beliebiges Element von [mm]C_{G}(H)[/mm] gewählt,
> also folg, dass [mm]C_{G}(H)=\{1\}[/mm] ist.
>
> Ist das ok so?
Ja (bis auf der eine Punkt oben).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Loko |
Ah klar OK!
Dankeschön :)
|
|
|
|
