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Zentralisator charakteristisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 Do 12.11.2009
Autor: piccolo1986

Hey, wenn G eine Gruppe ist und U eine Untergruppe von G, wie kann ich dann zeigen, dass der Zentralisator von U in G charakteristisch in G ist.

Also der Zentralisator ist doch: [mm] C_{g}(U)=\{g\in G:gu=ug \forall u\in U \} [/mm]

wie kann ich nun weiter vorgehen??

mfg piccolo

        
Bezug
Zentralisator charakteristisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 Do 12.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Hey, wenn G eine Gruppe ist und U eine Untergruppe von G,
> wie kann ich dann zeigen, dass der Zentralisator von U in G
> charakteristisch in G ist.

Nun, dass dies eine Untergruppe ist weisst du ja schon. Also musst du noch zeigen: fuer jeden Automorphismus [mm] $\sigma [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$ ist [mm] $\sigma(C_G(U)) [/mm] = [mm] C_G(U)$. [/mm]

Allerdings hab ich da Zweifel. Eine charakteristische Untergruppe ist ja automatisch ein Normalteiler. Aber nicht jeder Zentralisator ist ein Normalteiler.

Hast du irgendeine Voraussetzung an $U$ vergessen?

LG Felix


Bezug
                
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Zentralisator charakteristisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Fr 13.11.2009
Autor: piccolo1986

oh ja, sorry, U soll charakteristisch in G sein.

Bezug
                        
Bezug
Zentralisator charakteristisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 Fr 13.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> oh ja, sorry, U soll charakteristisch in G sein.  

Ja, damit geht es.

Fang doch einfach mal an loszurechnen: nimm dir einen Automorphismus [mm] $\sigma [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$ und versuche zu zeigen, dass [mm] $\sigma(C_G(U)) \subseteq C_G(U)$ [/mm] ist (durch ersetzen von [mm] $\sigma$ [/mm] durch [mm] $\sigma^{-1}$ [/mm] und Anwenden von [mm] $\sigma$ [/mm] auf die entstehende Gleichung bekommst du auch die andere Inklusion).

Schreib doch mal auf wie weit du kommst.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Zentralisator charakteristisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:14 Di 17.11.2009
Autor: piccolo1986

hey, ok danke, habs jetzt hinbekommen, is ja gar nicht so schwer, wenn man erstmal die Idee hat.

danke nochmals

mfg piccolo

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