Zentraler Grenzwertsatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mo 07.05.2007 | | Autor: | setine |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich hab mir überlegt:
1. Punkt wird einfach bestimmt, wegen Rotationssymmetrie egal
Danach wähle ich [mm] $\alpha_1, \ldots \alpha_{n-1}$ [/mm] Winkel im Bereich [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] zufällig.
Falls [mm] $\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i [/mm] > [mm] \pi \rightarrow$ [/mm] Mittelpunkt ist im Polygon
Also:
[mm] $\alpha_i \sim U(0,2\pi)$ [/mm] Uniform verteilt mit $i = 1 .. n-1$
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i [/mm] = [mm] N(\mu,\sigma)$
[/mm]
Ich weiss, dass die Summe von iid ZV gegen eine Normalverteilung konvergiert wegen dem Zentralen Grenzwertsatz. Welches sind aber die Parameter der NV? Normieren kann ich imho nicht, da ja 'n' unbekannt ist.
Meine Idee wäre dann [mm] $1-\phi(\pi)$ [/mm] (mal angenommen obige NV sei Standardnormalverteilt) als Resultat zu betrachten.
Was meint ihr dazu? Bin ich auf dem Holzweg ;) ?
Gruss, Setine
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Ich plädiere für halben Holzweg ;)
Bist du dir sicher, dass du die Verteilung der Winkel so genau kennst? Du brauchst ja in deinem Ansatz die Winkel von einem Punkt zum nächsten...
Aber die Lösung könnte viel einfacher sein als du's dir selbst machen wolltest. Die Idee mit den Winkeln ist nämlich nicht schlecht. Die Winkel jeweils zum ersten Punkt (als Referenz) sind wirklich gleichverteilt. Dann liegt der Mittelpunkt nicht im Polygon, wenn alle diese Winkel jeweils kleiner oder jeweils größer als [mm] \pi [/mm] sind, oder? Und dafür ist die Wahrscheinlichkeit jeweils [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Der Rest sollte dann einfach sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Di 08.05.2007 | | Autor: | setine |
Ah ja, so gehts doch wirklich viel besser ;) Vielen Dank auch!
So komme ich auf:
Wahrscheinlichkeit q(n) dass Mittelpunkt nicht in n-Eck ist $q(n)=2 [mm] \cdot \frac{1}{2^(n-1)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2^n}$ [/mm] und die Wahrscheinlichkeit p dass der Punkt drin liegt ist somit p(n) = 1-q(n)
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