Zeilenvektoren und Unterraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Brillo |
| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper und sei [mm] $K^{1\times n}$ [/mm] der $K$-Vektorraum der $n$-dimensionalen Zeilenvektoren. Sei $A$ eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix über $K$ und sei $A'$ das Ergebnis einer Folge elementarer Zeilenumformungen von $A$.
Zeigen Sie, dass die Zeilen von $A$ denselben Untervektorraum von [mm] $K^{1\times n}$ [/mm] aufspannen wie die Zeilen von $A'$. |
Hallo,
Ich hab echt ein Problem bei solchen Aufgaben den Anfang zu finden. Kann mir vielleicht jemand einen Tip geben ?
Danke
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Fr 30.12.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
es würde wohl per Widerspruch gehen:
ertse Richtung : angeommen im Erzeugnis von A gibt es einen Zeilenvektor v , der nicht im Erzeugnis von A' vorkommt, v besitzt eine Darstellung als Linearkombination der Zeilenvektoren von A.
Wenn man nun zeigt, dass man aus den Zeilenvektoren von A' wieder die von A basteln kann, dann kann man über diesen Umweg auch wieder v erzeugen, was ein Widerspruch wäre.
Also insgesamt reduziert sich deine Aufgabe wohl darauf zu zeigen, dass diese Reihe von elementaren Zeilenumformungen ein Inverse besitzt (nämlich die Reihe in umgekehrter Reihenfolge und die Inverse elementare Operation jeweils)
Dies würde recht einfach gehen, wenn du schon die Matrix-schreibweisen für alle elementaren Zeilenoperationen kennst und weißt, dass jede einzelnt invertierbar ist.
Kennst du dies schon?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Brillo |
Hallo,
danke für den Tip. Wir haben das schon mit den elementaren Zeilenumformungen in der Vorlesung behandelt.
Aber wie schreibe ich das auf ?
Wenn ich habe: A= [mm] \vektor{v_{1} \\...\\v_{n}} [/mm] die Zeilnevektoren von A. Dann gilt: [mm] L_{r}*...*L_{1}*A=A'. [/mm] Wenn ich also einen Zeilenvektor v aus A nehme, dann gilt v= [mm] a_{1}*v_{1}+...+a_{n}*v_{n}. [/mm] Aber wie mache ich das jetzt mit den Zeilenvektoren. Du meinst, ich soll erst mit Elementarmatrizen die Zeilenvektoren von A in Zeilenvektoren von A' "verwandeln" und dann zeigen, dass das wieder rückgängig geht ?
Das wäre ja einfach, weil die Elementarmatrizen invertierbar sind und man müsste nur die Inversen dazu multiplizieren.
Aber was hat das jetzt mit demselben Untervektorraum zu tun ?
Die Zeilenvektoren von A' sind sicher verschieden von denen in A. Wie zeige ich dann, dass es der selbe Untervektorraum ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Sa 31.12.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Das wäre ja einfach, weil die Elementarmatrizen
> invertierbar sind und man müsste nur die Inversen dazu
> multiplizieren.
Ja, so meinte ich das in etwa..
> Aber was hat das jetzt mit demselben Untervektorraum zu
> tun ?
nun ja, du musst zwei Richtungen zeigen:
1) jeder Vektor v' aus dem Erzeugnis der Zeilenvektoren von A' ist auch im Erzeugnis von A
2) Jeder Vektor aus dem Erzeugnis von A ist auch im Erzeugnis von A'
wobei im Erzeugnis zu sein bedeutet als Linearkombination darstellbar
tja 1) ist die einfache Richtung, die mache ich mal damit du weisst wie man das aufschreiben könnte:
also sei v' aus dem Erzeugnis von A' , also [mm] $v'=\lambda_1*a'_1+\ldots +\lambda_n [/mm] *a'_n$
weil A' aus A durch Zeilenumformung entstanden ist, gibt es für jeden Zeilenvektor $a'_i$ aus A' eine Linarkombination von Zeilenvektoren aus A, also [mm] $a'_i=\mu_{1,i} *a_1+\ldots +\mu_{n,i} *a_n$
[/mm]
eingesetzt in obige Formel und eentspr. zusammengefasst ergibt sich:
[mm] $v'=(\lambda_1 *\mu_{1,1}+\ldots +\lambda_n *\mu_{1,n})*a_1+\ldots +(\lambda_1 *\mu_{n,1}+\ldots +\lambda_n *\mu_{n,n})*a_n$
[/mm]
also ist v' auch im Erzeugnis von A..
(hoffe, ich hab mich jetzt nicht irgendwo mit den indizies vertan)
bei der zweiten Richtung musst du verwenden, dass jeder Zeilenvektor aus A als Linearkombination der Zeilenvektoren aus A' geschrieben werden kann und dazu brauchst du die Inverse, denn diese ist ja auch nur eine Reihe von Zeilenumformungen..
ist es nun klarer?
viele Grüße+guten Rutsch
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Fr 30.12.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi nochmal,
bitte vermeide in Zukunft die selbe Frage in unterschiedlichen Subforen - insbesondere ist dies doch eindeutig Uni-LA Stoff und nicht für die Schule - habe den anderen Thread gelöscht.
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du könntest dir auch hier ein paar Ideen abholen...
Liebe Grüße
Stefan
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