Zeilen- Spalten- Nullraum < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Mi 16.02.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | | Sei [mm] A\in K^{3\times 2} [/mm] x-beliebig |
Hey,
Hab hier ein paar ganz kurze Fragen zu diesem Thema.
Ich will jetzt eine Basis des Zeilenraum, Spaltenraum, und des Nullraum der Spalten und Zeilen bestimmen.
Zeilenraum: A mit Gauß zu red. Gaußsche Normalform bringen und dann sind die Nicht.Nullzielen meine Basis???
Zeilennullraum: Lös(A,0) bestimmen und dann die Basis davon nehmen???
Spaltenraum: [mm] A^{T} [/mm] in RGNF bringen und dann die Nicht-Nullzeilen als Basis nehmen???
Spaltennullraum: [mm] Lös(A^{T},0) [/mm] bestimmen und dann die Basis davon nehmen???
Mit Nullraum ist der Zeilennullraum gemeint???
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Hi,
> Sei $ [mm] A\in K^{3\times 2} [/mm] $ x-beliebig
> Hey,
> Hab hier ein paar ganz kurze Fragen zu diesem Thema.
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> Ich will jetzt eine Basis des Zeilenraum, Spaltenraum, und
> des Nullraum der Spalten und Zeilen bestimmen.
>
> Zeilenraum: A mit Gauß zu red. Gaußsche Normalform
> bringen und dann sind die Nicht.Nullzielen meine Basis???
Ja.
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> Zeilennullraum: Lös(A,0) bestimmen und dann die Basis
> davon nehmen???
Nein. Die Vektoren des Nullraums einer Matrix A geben lineare Abhängigkeiten (nichttriviale Lösungen für die Darstellung des Nullvektors) zwischen den Spaltenvektoren an. Also musst du die transponierte Matrix nehmen, damit die Zeilenvektoren zu Spaltenvektoren werden.
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> Spaltenraum: $ [mm] A^{T} [/mm] $ in RGNF bringen und dann die
> Nicht-Nullzeilen als Basis nehmen???
Ja.
>
> Spaltennullraum: $ [mm] Lös(A^{T},0) [/mm] $ bestimmen und dann die Basis
> davon nehmen???
Nein - Begründung wie oben. Lass die Spaltenvektoren Spaltenvektoren sein und bestimme den Spaltennullraum als Loes(A,0)
> Mit Nullraum ist der Zeilennullraum gemeint???
Der Nullraum einer Matrix ist der Spaltennullraum. Das Bild der mit der Matrix assoziierten linearen Abbildung wird schließlich von den Spaltenvektoren aufgespannt.
Gruß
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> Hi,
> > Sei [mm]A\in K^{3\times 2}[/mm] x-beliebig
> > Hey,
> > Hab hier ein paar ganz kurze Fragen zu diesem Thema.
> >
> > Ich will jetzt eine Basis des Zeilenraum, Spaltenraum, und
> > des Nullraum der Spalten und Zeilen bestimmen.
> >
> > Zeilenraum: A mit Gauß zu red. Gaußsche Normalform
> > bringen und dann sind die Nicht.Nullzielen meine Basis???
> Ja.
> >
> > Zeilennullraum: Lös(A,0) bestimmen und dann die Basis
> > davon nehmen???
> Nein. Die Vektoren des Nullraums einer Matrix A geben
> lineare Abhängigkeiten (nichttriviale Lösungen für die
> Darstellung des Nullvektors) zwischen den Spaltenvektoren
> an. Also musst du die transponierte Matrix nehmen, damit
> die Zeilenvektoren zu Spaltenvektoren werden.
>
Dann bekomme ich zum Beispiel bei einer 3x4 matrix mit einer lin ab Zeile, 2 Basisvektoren mit 4x1 Format für den Zeilenraum und 1 Basisvektor mit 3x1 Format für den ZeilenNullraum.
Und mit der gleichen Matrix für den Spaltenraum 2 Basivektoren vom Format 3x1 , für den Spaltennullraum 2 Basisvektoren vom Format 4x1
Stimmt das so?
> >
> > Spaltenraum: [mm]A^{T}[/mm] in RGNF bringen und dann die
> > Nicht-Nullzeilen als Basis nehmen???
> Ja.
> >
> > Spaltennullraum: [mm]Lös(A^{T},0)[/mm] bestimmen und dann die Basis
> > davon nehmen???
> Nein - Begründung wie oben. Lass die Spaltenvektoren
> Spaltenvektoren sein und bestimme den Nullraun als
> Loes(A,0)
>
> > Mit Nullraum ist der Zeilennullraum gemeint???
> Der Nullraum einer Matrix ist der Spaltennullraum. Das
> Bild der mit der Matrix assoziierten linearen Abbildung
> wird schließlich von den Spaltenvektoren aufgespannt.
>
> Gruß
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Hi,
vorab noch eine Nachfrage von mir, die ich besser gleich zu Beginn gestellt hätte. Betrachten dazu die lineare Abbildung [mm] f_A:\IR^n\to\IR^m, v\mapsto [/mm] Av, wobei [mm] A\in\IR^{m\times n}.
[/mm]
Stimmen die folgenden Definitionen mit deinen überein?
1. Spaltenraum: Der von den Spaltenvektoren aufgespannte Raum. Also alle Vektoren des [mm] \IR^m, [/mm] die im Bild von [mm] f_A [/mm] liegen.
2. Spaltennullraum: Der zum Spaltenraum senkrechte Raum mi [mm] \IR^m.
[/mm]
3. Zeilenraum: Der von den Zeilenvektoren aufgespannte Raum. Also alle Vektoren des [mm] \IR^n, [/mm] die von [mm] f_A [/mm] nicht auf 0 abgebildet werden.
4. Zeilennullraum: Alle diejenigen Vektoren des [mm] \IR^n, [/mm] die durch [mm] f_A [/mm] auf 0 abgebildet werden.
Vergleiche ![[]](/images/popup.gif) Link - daher meine Unsicherheit.
Wenn dem so ist, dann wäre dein erster Post wohl richtig. Ich bin zwischenzeitlich von einer anderen Definition von Zeilen. und Spaltenullraum ausgegangen, die mir nun unwahrscheinlicher erscheint.
Ich bitte auch ein anderes Forenmitglied darum, sich der Sache noch einmal anzunehmen. Danke.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 16.02.2011 | | Autor: | diddy449 |
Deine Def stimmt mit meiner überein
1.ZR(A):=spann der Zeilenvektoren
2.SR(A):=spann der Spaltenvektoren
3.Zeilennullraum:= [mm] Lös(A^{T},0)
[/mm]
4.Spaltennullraum:= Lös(A,0)
ich habe erst im nachhinein ins skript geschaut, sonst hätte ich mir die frage hier sparen können^^
Diese Def von Zeliennullraum und Zeilenraum mit Bild und zum Spalteraum senktrecht kenn ich nicht, aber das klingt nicht widersrpüchlich.
deine Anwort hat mir schon sehr weitergeholfen, danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 18.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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