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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Mo 31.12.2012 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n}{n+1}=2 [/mm] |
Hallo bei der obigen Aufgabe soll ich mit Hilfe der Definition zeigen, dass das gilt.
Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n}{n+1}=2
[/mm]
z.z.: Für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig existiert [mm] n_{0} \in \IN [/mm] , sodass [mm] \vmat{ \bruch{2n}{n+1} -2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Betrachte [mm] \vmat{ \bruch{2n}{n+1} -2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] < n+1 [mm] \gdw \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] - 1 < n
Wähle [mm] n_{0} [/mm] := [mm] \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] -1 +1 (hier soll [mm] \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] -1 aufgerundet werden. Ich habe blos die Zeichen dafür nicht gefunden)
Dann gilt für alle n [mm] \ge n_{0} \gdw [/mm] n [mm] \ge \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] -1 +1 > [mm] \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] -1 [mm] \ge \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] -1 [mm] \gdw \vmat{ \bruch{2n}{n+1} -2} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ist das richtig???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
das ganze sieht sehr gut aus.
Ob nun [mm] n>n_o [/mm] oder [mm] n\ge{n_0} [/mm] gilt ist übrigens für den ganzen Sachverhalt nicht entscheidend. Den grundlegenden Gedanken hast du jedoch erkannt und richtig gezeigt.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n}{n+1}=2[/mm]
> Hallo bei
> der obigen Aufgabe soll ich mit Hilfe der Definition
> zeigen, dass das gilt.
>
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n}{n+1}=2[/mm]
>
> z.z.: Für [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig existiert [mm]n_{0} \in \IN[/mm]
> , sodass [mm]\vmat{ \bruch{2n}{n+1} -2}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle
> n [mm]\ge n_{0}[/mm]
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig. Betrachte [mm]\vmat{ \bruch{2n}{n+1} -2}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{n+1}[/mm] < [mm]\varepsilon \gdw \bruch{2}{\varepsilon}[/mm]
> < n+1 [mm]\gdw \bruch{2}{\varepsilon}[/mm] - 1 < n
Das ist schon nahezu ausreichend.
Du kannst hier natürlich die Gaußklammer benutzen. Und dann einfach sagen: Für alle [mm] n>n_0 [/mm] ist [mm] |a_n-a|<\epsilon.
[/mm]
=> Damit gilt die Behauptung. (Vergiss diese entscheidende Schlussfolgerung nicht)
>
> Wähle [mm]n_{0}[/mm] := [mm]\bruch{2}{\varepsilon}[/mm] -1 +1 (hier soll
> [mm]\bruch{2}{\varepsilon}[/mm] -1 aufgerundet werden. Ich habe blos
> die Zeichen dafür nicht gefunden)
>
> Dann gilt für alle n [mm]\ge n_{0} \gdw[/mm] n [mm]\ge \bruch{2}{\varepsilon}[/mm]
> -1 +1 > [mm]\bruch{2}{\varepsilon}[/mm] -1 [mm]\red{\ge} \bruch{2}{\varepsilon}[/mm] -1 [mm]\gdw \vmat{ \bruch{2n}{n+1} -2}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Diese Ungleichungskette ist ein bisschen wirr für meinen Geschmack. Insbesondere das rote [mm] \ge.
[/mm]
>
> Ist das richtig???
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mo 31.12.2012 | | Autor: | piriyaie |
supi. danke! :-D
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