Zeigen eines normierten Raumes < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:50 Fr 18.04.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Wir betrachten für 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty [/mm] den Folgeraum
[mm] l^p [/mm] = [mm] {a=(a_n) \subset \IC: \summe_{n=0}^{\infty} |a_n|^p < \infty}
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] a)l^p [/mm] ist ein normierter Raum mit der Norm
[mm] |a|_p [/mm] = [mm] (\summe_{n=0}^{\infty} |a_n|^p)^1/p
[/mm]
b) [mm] l^1 \subseteq l^2
[/mm]
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a)
zu zeigen sind ja die normaxiome.
n1: |a|=0 [mm] \gdw [/mm] a=0
n2: [mm] |\lambda [/mm] a|= [mm] \lambda [/mm] * |a|
n3: |a+b| [mm] \le [/mm] |a|+|b|
bei n1 weiß´ich nicht genau wie ich das zeigen soll. ich hab da einfach die summe aufgeschrieben und sie gleich null gesetzt und dann geschrieben [mm] \Rightarrow [/mm] a=0. aber das kann ich doch nicht einfach so schreiben oder?
bei n2 hab ich:
[mm] |\lambda a|_p =(\summe_{n=0}^{\infty} |\lambda [/mm] * [mm] a_n|^p)^1/p
[/mm]
[mm] =(|\lambda|\summe_{n=0}^{\infty} |a_n|^p)^1/p
[/mm]
[mm] =|\lambda|(\summe_{n=0}^{\infty} |a_n|^p)^1/p
[/mm]
[mm] =|\lambda||a|_p
[/mm]
bei n3 weiß ich nicht wirklich wie ich die dreiecksungleichung zeigen soll. ich hab da einfach
|a+b| [mm] \le [/mm] |a|+|b|
[mm] |a+b|_p =(\summe_{n=0}^{\infty} |a_n|^p+|b_n|^p)^1/p
[/mm]
[mm] \le (\summe_{n=0}^{\infty} |a_n|^p)^1/p [/mm] + [mm] (\summe_{n=0}^{\infty} |b_n|^p)^1/p
[/mm]
b)
da weiß ich schon aus einer übung das gilt : [mm] |x|_2 \le |x|_1 [/mm] und das dies auch im unendlichen gilt. man muss zeigen das x [mm] \in l^1 \Rightarrow [/mm] x [mm] \in l^2
[/mm]
aber irgendiwe weiß ich nicht wie ich das anstellen soll.
wäre echt schön wenn mir da einer weiterhelfen könnte.
lg sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Fr 18.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> zu zeigen sind ja die normaxiome.
> n1: |a|=0 [mm]\gdw[/mm] a=0
> n2: [mm]|\lambda[/mm] a|= [mm]\lambda[/mm] * |a|
> n3: |a+b| [mm]\le[/mm] |a|+|b|
>
> bei n1 weiß´ich nicht genau wie ich das zeigen soll. ich
> hab da einfach die summe aufgeschrieben und sie gleich null
> gesetzt und dann geschrieben [mm]\Rightarrow[/mm] a=0. aber das kann
> ich doch nicht einfach so schreiben oder?
Eigenlich schon... [mm] $\left(\sum_{k=0}^\infty |a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}=0\gdw\forall n\in\IN:|a_n|=0\gdw \forall n\in\IN:a_n=0\gdw [/mm] a=0$ .
> bei n2 hab ich:
> [mm]|\lambda a|_p =(summe_{n=0}^{\infty} |\lambda[/mm] *
> [mm]a_n|^p)^1/p[/mm]
> [mm]=(|\lambda|summe_{n=0}^{\infty} |a_n|^p)^1/p[/mm]
>
> [mm]=|\lambda|(summe_{n=0}^{\infty} |a_n|^p)^1/p[/mm]
>
> [mm]=|\lambda||a|_p[/mm]
Jo...
> bei n3 weiß ich nicht wirklich wie ich die
> dreiecksungleichung zeigen soll. ich hab da einfach
Weiß ich leider auch nicht...
zu b)
Du musst nur zeigen, wenn [mm] $\sum_{n=0}^\infty|a_n|$ [/mm] konvergiert, dann auch [mm] $\sum_{n=0}^\infty|a_n|^2$, [/mm] aber das ist leicht da fast immer [mm] $|a_n|<1$ [/mm] (warum?), und damit [mm] $|a_n|^2<|a_n|$ [/mm] für fast alle $n$, d.h. die eine Reihe ist konvergente Majorante der anderen.
Vielleicht findest du ja auch ein Beispiel für [mm] $l^1\not\ni a\in l^2$... [/mm] 
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Sa 19.04.2008 | | Autor: | skydyke |
danke erst einmal für einen teil der antwort.
ich versteh nicht ganz warum ich zeigen soll das es konvergiert. ich soll doch zeigen, das [mm] l^1 \in l^2 [/mm] liegt. irgendwie versteh ich das nicht ganz.
es wäre schön wenn sich noch einer finden könte der mir bei dem nachweis der dreiecksungleichung hilft. da hab ich nämlich weiterhin keine idee...
vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du willst [mm] l^1\subset l^2 [/mm] zeigen. Dazu zeigst du [mm] x\in l^1\Rightarrow x\in l^2. [/mm] Da [mm] x\in l^1 [/mm] gilt also [mm] \summe_{n=0}^\infty |x_n| [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Da x in [mm] l^2 [/mm] liegen soll, musst du jetzt zeigen, dass [mm] \summe_{n=0}^\infty |x_n|^2 [/mm] < [mm] \infty [/mm] gilt.
Wegen der Dreiecksungleichung..... ich kann mich noch dunkel daran erinnern, dass das eine übelste Index- und Summationsschlacht war. Du musst die Minkowski-Ungleichung bemühen (welche du aus der Hölder-Ungleichung beweisen kannst) und dann irgendwie das ganze hin- und herwerfen. Ist auf jeden Fall kein sehr schöner Beweis.
Aber wie der jetzt genau ging weiss ich auch nich mehr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Sa 19.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Die Minkowski-Ungleichung allein gilt nur für endliche Summen. Wir haben also nach Minkowski für beliebige [mm] $p\in[1,\infty)$:
[/mm]
[mm] $\left(\sum_{k=0}^n|a_k+b_k|^p\right)^\frac{1}{p}\le\left(\sum_{k=0}^n|a_k|^p\right)^\frac{1}{p}+\left(\sum_{k=0}^n|b_k|^p\right)^\frac{1}{p}\qquad(\forall n\in\IN)$
[/mm]
Daraus folgt aber die gesuchte Dreiecksungleichung im Grenzübergang [mm] $n\rightarrow\infty$.[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 So 20.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
p>1 laut wikipedia
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