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| Aufgabe | Zu zeigen:
X: Diskrete Zuvallsvariable
Var(X) = 0 [mm] \gdw [/mm] P(X = E(X)) (fast sicher) |
Hallo,
ich freue mich zukünftig in diesem Forum mitwirken zu dürfen.
Leider habe ich bei der oben stehenden Aufgabe Probleme und wäre für Hilfe sehr dankbar!
Probieren wir erst einmal [mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Var(X) = 0 [mm] \Rightarrow E(X^2)-E(X)^2 [/mm] = 0
Wie geht es bitte weiter?
Gruß
Sabine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Do 18.11.2010 | | Autor: | Sabine... |
Sorry, ich meine natürlich
Var(X) = 0 [mm] \gdw [/mm] P(X = E(X)) = 1 (fast sicher)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Do 18.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $E(X^2) [/mm] = [mm] \left( E(X)\right)^2$
[/mm]
jetzt setzt Du auf beiden Seiten die Definitionen ein.
EDIT: Ich dachte, ich hätte ne Lösung, wie man da einfach weitermacht, aber ich seh gerade, daß das nicht funktioniert. Irgendwie geht es so sicher, aber setz lieber bei
[mm] $E\left( \left(X- E(X)\right)^2\right) [/mm] =0$
die Definition ein. Da ist es auf jeden Fall einfach. =)
ciao
Stefan
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Ok, leider erledigt sich meine Verwirrtheit dadurch nicht ganz!
[mm] E(((X-E(X))^2) [/mm] = [mm] E(X^2-2XE(X)+(E(X))^2)
[/mm]
Nach der Linearität des Erwartungswertes erhält man dann:
= [mm] E(X^2)-2E(XE(X))+E((E(X))^2)
[/mm]
Was kann ich dann ausnutzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Do 18.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
nicht auflösen. Einfach die Definition des Erwartungswerts verwenden:
$E( [mm] (X-E(X))^2) [/mm] = [mm] \sum_x (x-E(X))^2 [/mm] P(X=x)=0$
ciao
Stefan
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Und wie forme ich das jetzt um, dass eine Aussage für P(X = E(X)) daraus wird? Ich stehe da vollkommen auf dem Schlauch!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo!
> Und wie forme ich das jetzt um, dass eine Aussage für P(X
> = E(X)) daraus wird?
Umformen musst du da nichts, nur lesen und logisch denken.
Wie Blech bereits gesagt hat
$ E( [mm] (X-E(X))^2) [/mm] = [mm] \sum_x (x-E(X))^2 [/mm] P(X=x)=0 $
Offensichtlich gilt das nur, wenn x = EX ist und damit muss zwangsläufig P(X = EX) = 1 gelten.
Mfg
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