Zeigen einer Ordnungsrelation < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Alfonso |
| Aufgabe | Zeige mit Hilfe der Peano-Axiome:
Es gibt nur eine partielle Ordnungsrelation R auf N, die die Bedingung
(n; f(n)) [mm] \varepsilon [/mm] R
erfüllt, wobei f(n) den Nachfolger von n bezeichnet. |
Ich bin hier ziemlich Ansatzlos, kann man den Beweis führen in dem man davon ausgeht es gäbe mehr als eine Ordnungsrelation und dann mit den Peano Axiomen zu einem Widerspruch gelangt,
oder widerspricht eine Ordnungsrelation die nicht [mm] \le [/mm] ist den Peanoaxiomen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Do 22.10.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Mario,
zunächst eine Bemerkung zur Aufgabenstellung; das Wörtchen nur erscheint mir zweifelhaft, will heissen: Soll hier Existenz und Eindeutigkeit (Es gibt genau eine Relation ...) oder nur die Eindeutigkeit (Es gibt höchstens eine Relation ...) gezeigt werden?
Jedenfalls solltest Du zur Eindeutigkeit deine Idee des indirekten Beweises (Annahme, es gibt zwei Relationen R1 und R2, ...) weiter verfolgen und Dich konsequent an die Definition von Relationen (als Teilmenge eines kartesischen Produktes) halten, weiterhin R1 ungleich R2 mengentheoretisch sehen usw., dann kommst du ans Ziel (die Benutzung des [mm] \le [/mm] - Zeichens führt leicht auf Abwege).
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Alfonso |
Vielen Dank Uli, dann bin ich ja nicht gänzlich auf Abwegen.
Hatte schon nicht mehr mit einer Antwort gerechnet, darum die späte Reaktion.
Hm, unser Seminarleiter meinte inzwischen, wir sollten uns auf die Relation konzentrieren die bereits gezeigt wurde und das wäre eben [mm] "\le". [/mm]
Aus den Peano Axiomen folgt ja auch, dass eine Relation, die für eine natürliche Zahl und deren Nachfolger gilt, für alle gelten muss. Das wäre eine Möglichkeit die Peano Axiome einzubeziehen. Denn dann gilt: Eine partielle Ordnung, die diese Bedingung erfüllt, ist auch eine Totalordnung.
Also wenn ich zwei Ordnungen R und R' [mm] R\not=R' [/mm] hätte würde gelten:
0R1R2R3R...Rn und
0R'1R'2R'3R'...R'n
Damit müsste man auch den Schluss auf Teilmengen von [mm] \IN [/mm] ziehen können, dass:
Wenn a und b nun beliebige Elemente von [mm] \IN [/mm] und aRb dann gilt entweder [mm] {0,1,2,...,a}\subseteq{1,2,3,...,b} [/mm] oder [mm] {1,2,3,...,b}\subseteq{0,1,2,...,a}
[/mm]
und daraus folgt recht schnell [mm] a\leb [/mm] oder [mm] b\lea [/mm] und damit ist meine Ordnungsrelation [mm] "\le" [/mm] und somit R=R' und daraus folgt ein Widerspruch.
Allerdings habe ich grade erst mit dem Studium begonnen und bin in Mengenlehre noch sehr unbewandert.
Kann ich den Schluss auf die Teilemengen wirklich ziehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 So 25.10.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Mario,
Deine Argumentation ist mir nicht formal exakt genug und mit Deinem Hinweis auf den zu verbessernden mengentheoretischen Hintergrund folgende Ratschläge:
Die Annahme R ungleich R' bedeutet zunächst, dass zwei Mengen nicht gleich sind, also entweder ist R nicht Teilmenge von R' oder R' nicht Teilmenge von R. Anders hingeschrieben:
[mm] \exists [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (a,b) [mm] \not\in [/mm] R' oder dasselbe mit vertauschtem R und R'.
Sei also nun (a,b) [mm] \in [/mm] R. Wir nehmen zusätzlich an, dass a [mm] \ne [/mm] b, denn sonst würde ja wegen der Reflexivität der Ordnungsrelation folgen, dass (a,a) [mm] \in [/mm] R'.
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten (und das ist die Stelle, an der man mit [mm] \le [/mm] auf eine falsche Fährte gelockt werden könnte), nämlich, dass b ein Nach..(Nach..)-folger von a ist, m.a.W. durch ein- oder mehrfaches Anwenden von f kommt man bei b an oder umgekehrt. Beide Fälle muss man betrachten und nur der erste entspricht der intuitiven Vorstellung von [mm] \le. [/mm] In diesem Fall, also b = f(f(f ...(a))) schliesst man mittels der Transitivität der Ordnungsrelation und der Voraussetzung (a,f(a)) [mm] \in [/mm] R und R', dass (a,b) [mm] \in [/mm] R', was einen Widerspruch ergibt.
Der andere Fall, dass b "vor" a liegt, also a = f(f(f ...(b))), benötigt jetzt tatsächlich auch noch das dritte Ordnungsaxiom, die Antisymmetrie, denn mit Hilfe wiederum der Transitivität, der generellen Voraussetzung (a,f(a)) [mm] \in [/mm] R und eben der Antisymmetrie folgert man a = b, was wir oben aber ausgeschlossen hatten.
Diese beiden Fälle solltest Du noch exakt formulieren.
Ach ja und wo werden nun die Peano-Axiome eigentlich benutzt? Naja, spätestens meine sehr suggestive Schreibweise f(f(f( ... ist natürlich mit den Peanoaxiomen zu begründen.
In der Hoffnung, Dir weiter geholfen zu haben
Gruß
Uli
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:57 So 25.10.2009 | | Autor: | Alfonso |
Vielen dank, das find ich schon mal sehr einleutend.
Vor allem der Hinweis, das wenn [mm] R\not=R' [/mm] dann handelt es sich um zwei ungleiche Mengen.
Aber, wenn gilt, dass diese partielle Ordnung eine Totalordnung ist, was ja direkt aus den Peanoaxiomen und der Aufgabenstellung folgt,
kann man dann nicht bereits sagen: Für ein beliebiges Paar natürlicher Zahlen (a,b) mit b>a gilt (a,b) [mm] \in [/mm] R und (a,b) [mm] \in [/mm] R' und damit die Menge R gleich der Menge R' was ein Widerspruch zur Annahme [mm] R\not=R' [/mm] ist?
(Mir gefällt das mit der Totalordnung einfach so gut)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 27.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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