Zeigen dass Menge offen ist < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen von [mm] ${\IR}^2$ [/mm] und überprüfen Sie jeweils, ob sie offen/abgeschlossen/kompakt sind:
(a) $A := [mm] \{ (x,y) \in {\IR}^2 | (x - 1)^2 + y^2 < 1, x + y < 1 \}$ [/mm] |
Hallo,
brauche für diese Aufgabe schon wieder mal viel zu lang und komme nicht vom Fleck. Ich muss also zeigen, dass $A$ offen ist. Weil der Durchschnitt offener Mengen wieder offen ist, will ich zeigen, dass [mm] $A_1 [/mm] := [mm] \{ (x,y) \in {\IR}^2 | x + y < 1 \}$ [/mm] und [mm] $A_2 [/mm] := [mm] \{ (x,y) \in {\IR}^2 | (x - 1)^2 + y^2 < 1 \}$ [/mm] offen sind, woraus dann folgt, dass $A = [mm] A_1 \cap A_2$ [/mm] auch offen ist.
Die Menge [mm] $A_1$ [/mm] beinhaltet alle Punkte unterhalb der Geraden $y = 1 - x$. Nun wäre zu zeigen, dass sich für ein beliebiges $(a,b) [mm] \in A_1$ [/mm] ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ mit [mm] $U_{\epsilon}(a,b) \subseteq A_1$ [/mm] finden lässt. Meine Idee ist, die Parallele $y = a + b - x$ durch den Punkt $(a,b)$ zu betrachten. Rein von der Optik her leuchtet ein, dass der minimale Abstand zwischen der Geraden $y = 1 - x$ und dem Punkt $(a,b)$ gerade $1 - (a + b)$ beträgt, und für [mm] $\epsilon [/mm] := 1 - (a + b)$ eben [mm] $U_{\epsilon}(a,b) \subseteq A_1$ [/mm] gelten sollte.
Für ein $(x,y)$ mit [mm] $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] = 1 - a - b$ wäre daher zu zeigen, dass $x + y < 1$. Wenn ich [mm] $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} [/mm] < 1 - a - b$ quadriere und ausmultipliziere lande ich bei [mm] $x^2 [/mm] - 2ax + [mm] y^2 [/mm] - 2yb < 1 - 2(a+b) + 2ab$.
Lässt sich hiermit etwas anfangen bzw. was wäre ein zielführender Ansatz?
Danke und Gruß,
Martin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:56 Mi 21.04.2021 | | Autor: | statler |
> Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen von [mm]{\IR}^2[/mm] und
> überprüfen Sie jeweils, ob sie
> offen/abgeschlossen/kompakt sind:
>
> (a) [mm]A := \{ (x,y) \in {\IR}^2 | (x - 1)^2 + y^2 < 1, x + y < 1 \}[/mm]
>
> Hallo,
> brauche für diese Aufgabe schon wieder mal viel zu lang
> und komme nicht vom Fleck. Ich muss also zeigen, dass [mm]A[/mm]
> offen ist. Weil der Durchschnitt offener Mengen wieder
> offen ist, will ich zeigen, dass [mm]A_1 := \{ (x,y) \in {\IR}^2 | x + y < 1 \}[/mm]
> und [mm]A_2 := \{ (x,y) \in {\IR}^2 | (x - 1)^2 + y^2 < 1 \}[/mm]
> offen sind, woraus dann folgt, dass [mm]A = A_1 \cap A_2[/mm] auch
> offen ist.
>
> Die Menge [mm]A_1[/mm] beinhaltet alle Punkte unterhalb der Geraden
> [mm]y = 1 - x[/mm]. Nun wäre zu zeigen, dass sich für ein
> beliebiges [mm](a,b) \in A_1[/mm] ein [mm]\epsilon > 0[/mm] mit
> [mm]U_{\epsilon}(a,b) \subseteq A_1[/mm] finden lässt. Meine Idee
> ist, die Parallele [mm]y = a + b - x[/mm] durch den Punkt [mm](a,b)[/mm] zu
> betrachten. Rein von der Optik her leuchtet ein, dass der
> minimale Abstand zwischen der Geraden [mm]y = 1 - x[/mm] und dem
> Punkt [mm](a,b)[/mm] gerade [mm]1 - (a + b)[/mm] beträgt, und für [mm]\epsilon := 1 - (a + b)[/mm]
> eben [mm]U_{\epsilon}(a,b) \subseteq A_1[/mm] gelten sollte.
Das stimmt so nicht, was du z. B. siehst, wenn du als Punkt den Ursprung nimmst, also a = b = 0. Dann ist der (minimale) Abstand [mm] $\frac{1}{2}\sqrt{2}$.
[/mm]
Du könntest aber einen Kreis mit Mittelpunkt (a, b) so bestimmen, daß er die Gerade berührt. Sein Radius ist dann der Abstand, und sein offenes Inneres löst dein Problem.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Mi 21.04.2021 | | Autor: | fred97 |
> Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen von [mm]{\IR}^2[/mm] und
> überprüfen Sie jeweils, ob sie
> offen/abgeschlossen/kompakt sind:
>
> (a) [mm]A := \{ (x,y) \in {\IR}^2 | (x - 1)^2 + y^2 < 1, x + y < 1 \}[/mm]
>
> Hallo,
> brauche für diese Aufgabe schon wieder mal viel zu lang
> und komme nicht vom Fleck. Ich muss also zeigen, dass [mm]A[/mm]
> offen ist. Weil der Durchschnitt offener Mengen wieder
> offen ist, will ich zeigen, dass [mm]A_1 := \{ (x,y) \in {\IR}^2 | x + y < 1 \}[/mm]
> und [mm]A_2 := \{ (x,y) \in {\IR}^2 | (x - 1)^2 + y^2 < 1 \}[/mm]
> offen sind, woraus dann folgt, dass [mm]A = A_1 \cap A_2[/mm] auch
> offen ist.
>
> Die Menge [mm]A_1[/mm] beinhaltet alle Punkte unterhalb der Geraden
> [mm]y = 1 - x[/mm]. Nun wäre zu zeigen, dass sich für ein
> beliebiges [mm](a,b) \in A_1[/mm] ein [mm]\epsilon > 0[/mm] mit
> [mm]U_{\epsilon}(a,b) \subseteq A_1[/mm] finden lässt. Meine Idee
> ist, die Parallele [mm]y = a + b - x[/mm] durch den Punkt [mm](a,b)[/mm] zu
> betrachten. Rein von der Optik her leuchtet ein, dass der
> minimale Abstand zwischen der Geraden [mm]y = 1 - x[/mm] und dem
> Punkt [mm](a,b)[/mm] gerade [mm]1 - (a + b)[/mm] beträgt, und für [mm]\epsilon := 1 - (a + b)[/mm]
> eben [mm]U_{\epsilon}(a,b) \subseteq A_1[/mm] gelten sollte.
>
> Für ein [mm](x,y)[/mm] mit [mm]\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < \epsilon = 1 - a - b[/mm]
> wäre daher zu zeigen, dass [mm]x + y < 1[/mm]. Wenn ich [mm]\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < 1 - a - b[/mm]
> quadriere und ausmultipliziere lande ich bei [mm]x^2 - 2ax + y^2 - 2yb < 1 - 2(a+b) + 2ab[/mm].
>
> Lässt sich hiermit etwas anfangen bzw. was wäre ein
> zielführender Ansatz?
>
> Danke und Gruß,
> Martin
Statler hat ja geschrieben, wie Du das machen kannst. Mein Weg, so meine ich, ist einfacher:
wir zeigen, dass die Komplemente $ [mm] C_1:=\IR^2 \setminus A_1$ [/mm] und $ [mm] C_2:=\IR^2 \setminus A_2$ [/mm] abgeschlossen sind. Ich mache Dir das für [mm] C_1 [/mm] mal vor [mm] (C_2 [/mm] erledigst dann Du).
Es ist [mm] $C_1=\{(x,y): x+y \ge 1\}.$
[/mm]
Sei also [mm] $((a_n,b_n))$ [/mm] eine konvergente Folge in [mm] C_1 [/mm] mit Grenzwert $(a,b)$. Zu zeigen ist: $(a,b) [mm] \in C_1.$
[/mm]
Dann haben wir [mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b.$ Weiter gilt [mm] $a_n+b_n \ge [/mm] 1$ für alle $n$.
Es folgt (mit $n [mm] \to \infty$): [/mm] $ a+b [mm] \ge [/mm] 1.$ Also $(a,b) [mm] \in C_1.$
[/mm]
Damit ist [mm] $C_1$ [/mm] abgeschlossen und damit [mm] $A_1$ [/mm] offen.
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
> Es ist [mm]C_1=\{(x,y): x+y \ge 1\}.[/mm]
>
>
> Sei also [mm]((a_n,b_n))[/mm] eine konvergente Folge in [mm]C_1[/mm] mit
> Grenzwert [mm](a,b)[/mm]. Zu zeigen ist: [mm](a,b) \in C_1.[/mm]
>
> Dann haben wir [mm]a_n \to a[/mm] und [mm]b_n \to b.[/mm] Weiter gilt [mm]a_n+b_n \ge 1[/mm]
> für alle [mm]n[/mm].
>
> Es folgt (mit [mm]n \to \infty[/mm]): [mm]a+b \ge 1.[/mm] Also [mm](a,b) \in C_1.[/mm]
Ich kann den letzten Satz nicht nachvollziehen; wieso folgt aus [mm] $a_n [/mm] + [mm] b_n \ge [/mm] 1$, dass auch $a + b [mm] \ge [/mm] n$
Alles bis auf den letzten Satz könntest du doch genauso gut schreiben, wenn du statt [mm]\{(x,y): x+y \ge 1\}[/mm] die Menge [mm]\{(x,y): x+y > 1\}[/mm] betrachten würdest. Und auf einmal gilt trotz [mm] $a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] > 1$ nun nicht mehr $a + b > 1$ ... ?
Bitte um Aufklärung!
Danke und Gruß,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 21.04.2021 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Es ist [mm]C_1=\{(x,y): x+y \ge 1\}.[/mm]
> >
> >
> > Sei also [mm]((a_n,b_n))[/mm] eine konvergente Folge in [mm]C_1[/mm] mit
> > Grenzwert [mm](a,b)[/mm]. Zu zeigen ist: [mm](a,b) \in C_1.[/mm]
> >
> > Dann haben wir [mm]a_n \to a[/mm] und [mm]b_n \to b.[/mm] Weiter gilt [mm]a_n+b_n \ge 1[/mm]
> > für alle [mm]n[/mm].
> >
> > Es folgt (mit [mm]n \to \infty[/mm]): [mm]a+b \ge 1.[/mm] Also [mm](a,b) \in C_1.[/mm]
>
> Ich kann den letzten Satz nicht nachvollziehen; wieso folgt
> aus [mm]a_n + b_n \ge 1[/mm], dass auch [mm]a + b \ge n[/mm]
>
> Alles bis auf den letzten Satz könntest du doch genauso
> gut schreiben, wenn du statt [mm]\{(x,y): x+y \ge 1\}[/mm] die Menge
> [mm]\{(x,y): x+y > 1\}[/mm] betrachten würdest. Und auf einmal gilt
> trotz [mm]a_n + b_n > 1[/mm] nun nicht mehr [mm]a + b > 1[/mm] ... ?
>
> Bitte um Aufklärung!
Ist [mm] $(x_n)$ [/mm] eine konvergente Folge mit Grenzwert $x$ und gilt [mm] $x_n \ge [/mm] c$ für alle n, so folgt bekanntlich $ x [mm] \ge [/mm] c$.
Gilt $ [mm] x_n [/mm] >c$, so ist $x>c$ im allgemeinen falsch.
> Danke und Gruß,
> Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Mi 21.04.2021 | | Autor: | sancho1980 |
Ah ok, aber ich bin dieser Regel noch nie über den Weg gelaufen ...
|
|
|
| |
|
Das siehst du ganz einfach an folgendem Beispiel:
Sei [mm] a_n=1/n. [/mm] Dann ist [mm] a_n>0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Mi 21.04.2021 | | Autor: | fred97 |
> Ah ok, aber ich bin dieser Regel noch nie über den Weg
> gelaufen ...
Du studierst Informatik, dann hattest Du eine HM- Vorlesung. Da ist Dir diese Regel garantiert über den Weg gelaufen .......
|
|
|
| |
|
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du kannst auch wie folgt argumentieren:
Bei [mm] A_1 [/mm] handelt es sich um die offene Kreisscheibe um (1|0) mit Radius 1 (linkes Bild, gelbe Fläche einschließlich orangefarbener Teil der x-Achse, ohne Kreisrand). Hiervon wird nur der Halbkreis links unten unterhalb y=1-x genommen (rechtes Bild, ohne die Gerade als Trennlinie). Die Fläche A enthält an keiner Stelle ihren Rand und ist somit offen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Mi 21.04.2021 | | Autor: | fred97 |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Du kannst auch wie folgt argumentieren:
>
> Bei [mm]A_1[/mm] handelt es sich um die offene Kreisscheibe um (1|0)
> mit Radius 1 (linkes Bild, gelbe Fläche einschließlich
> orangefarbener Teil der x-Achse, ohne Kreisrand). Hiervon
> wird nur der Halbkreis links unten unterhalb y=1-x genommen
> (rechtes Bild, ohne die Gerade als Trennlinie). Die Fläche
> A enthält an keiner Stelle ihren Rand und ist somit offen.
Hallo HJK,
das ist ja alles sehr schön anschaulich beschrieben, aber mit exakter Mathematik hat das nichts zu tun. Wenn einer meiner Studenten in einer Klausur so argumentieren würde, bekäme er nur gaaaaanz, gaaanz wenig Punkte.
Wenn man schon den Rand der obigen Menge in die Argumentation einbringt, so sollte man den Rand auch bestimmt haben. Das ist aber noch aufwändiger , als die Offenheit zu zeigen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mi 21.04.2021 | | Autor: | fred97 |
> Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen von [mm]{\IR}^2[/mm] und
> überprüfen Sie jeweils, ob sie
> offen/abgeschlossen/kompakt sind:
>
> (a) [mm]A := \{ (x,y) \in {\IR}^2 | (x - 1)^2 + y^2 < 1, x + y < 1 \}[/mm]
>
> Hallo,
> brauche für diese Aufgabe schon wieder mal viel zu lang
> und komme nicht vom Fleck. Ich muss also zeigen, dass [mm]A[/mm]
> offen ist. Weil der Durchschnitt offener Mengen wieder
> offen ist, will ich zeigen, dass [mm]A_1 := \{ (x,y) \in {\IR}^2 | x + y < 1 \}[/mm]
> und [mm]A_2 := \{ (x,y) \in {\IR}^2 | (x - 1)^2 + y^2 < 1 \}[/mm]
> offen sind, woraus dann folgt, dass [mm]A = A_1 \cap A_2[/mm] auch
> offen ist.
>
> Die Menge [mm]A_1[/mm] beinhaltet alle Punkte unterhalb der Geraden
> [mm]y = 1 - x[/mm]. Nun wäre zu zeigen, dass sich für ein
> beliebiges [mm](a,b) \in A_1[/mm] ein [mm]\epsilon > 0[/mm] mit
> [mm]U_{\epsilon}(a,b) \subseteq A_1[/mm] finden lässt. Meine Idee
> ist, die Parallele [mm]y = a + b - x[/mm] durch den Punkt [mm](a,b)[/mm] zu
> betrachten. Rein von der Optik her leuchtet ein, dass der
> minimale Abstand zwischen der Geraden [mm]y = 1 - x[/mm] und dem
> Punkt [mm](a,b)[/mm] gerade [mm]1 - (a + b)[/mm] beträgt, und für [mm]\epsilon := 1 - (a + b)[/mm]
> eben [mm]U_{\epsilon}(a,b) \subseteq A_1[/mm] gelten sollte.
>
> Für ein [mm](x,y)[/mm] mit [mm]\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < \epsilon = 1 - a - b[/mm]
> wäre daher zu zeigen, dass [mm]x + y < 1[/mm]. Wenn ich [mm]\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < 1 - a - b[/mm]
> quadriere und ausmultipliziere lande ich bei [mm]x^2 - 2ax + y^2 - 2yb < 1 - 2(a+b) + 2ab[/mm].
>
> Lässt sich hiermit etwas anfangen bzw. was wäre ein
> zielführender Ansatz?
>
> Danke und Gruß,
> Martin
Ich habe noch eine weitere, sehr kurze Lösung:
Wir definieren die Funktionen $f,g: [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] durch
[mm] $f(x,y):=(x-1)^2+y^2$ [/mm] und $g(x,y):=x+y$.
Diese Funktionen sind stetig und es gilt
[mm] $A_1=g^{-1}(( [/mm] - [mm] \infty,1))$ [/mm] und [mm] $A_2=f^{-1}(( [/mm] - [mm] \infty,1))$.
[/mm]
Da das Intervall $(- [mm] \infty,1)$ [/mm] offen ist, folgt das Gewünschte.
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
> Ich habe noch eine weitere, sehr kurze Lösung:
>
> Wir definieren die Funktionen [mm]f,g: \IR \to \IR[/mm] durch
>
> [mm]f(x,y):=(x-1)^2+y^2[/mm] und [mm]g(x,y):=x+y[/mm].
>
> Diese Funktionen sind stetig und es gilt
>
> [mm]A_1=g^{-1}(( - \infty,1))[/mm] und [mm]A_2=f^{-1}(( - \infty,1))[/mm].
>
>
> Da das Intervall [mm](- \infty,1)[/mm] offen ist, folgt das
> Gewünschte.
Hast du dich vertan? Mir leuchtet ein, dass [mm] $g(A_1) [/mm] = [mm] (-\infty,1)$, [/mm] aber m.E. ist [mm] $f(A_2) [/mm] = [0,1)$, also [mm] $f(A_2) [/mm] = [0,1)$ ist nicht offen...?
Gruß,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mi 21.04.2021 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Ich habe noch eine weitere, sehr kurze Lösung:
> >
> > Wir definieren die Funktionen [mm]f,g: \IR^2 \to \IR[/mm] durch
> >
> > [mm]f(x,y):=(x-1)^2+y^2[/mm] und [mm]g(x,y):=x+y[/mm].
> >
> > Diese Funktionen sind stetig und es gilt
> >
> > [mm]A_1=g^{-1}(( - \infty,1))[/mm] und [mm]A_2=f^{-1}(( - \infty,1))[/mm].
>
> >
> >
> > Da das Intervall [mm](- \infty,1)[/mm] offen ist, folgt das
> > Gewünschte.
>
> Hast du dich vertan? Mir leuchtet ein, dass [mm]g(A_1) = (-\infty,1)[/mm],
> aber m.E. ist [mm]f(A_2) = [0,1)[/mm], also [mm]f(A_2) = [0,1)[/mm] ist nicht
> offen...?
Was ist denn nun los ? Ich habe von Urbildmengen geredet. Du aber von Bildmengen.
>
> Gruß,
> Martin
|
|
|
| |
|
Ja ich hab nochmal drüber nachgedacht und es jetzt mal ganz ausgeführlich aufgeschrieben:
Es ist A nicht abgeschlossen, denn [mm] $(a_n)$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \end{pmatrix}$ [/mm] ist eine Folge in $A$, die gegen [mm] $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ [/mm] konvergiert. Also ist [mm] $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \not\in [/mm] A$ ein Häufungspunkt von A. Weil $A$ nicht abgeschlossen ist, ist $A$ nicht kompakt. Als Durchschnitt von zwei in [mm] $(\mathbb{R}^2, {\|\|})$ [/mm] offenen Mengen [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] ist $A$ offen in [mm] $(\mathbb{R}^2, {\|\|})$.
[/mm]
Beweis dass [mm] $A_1$ [/mm] offen in [mm] $(\mathbb{R}^2, {\|\|})$ [/mm] ist:
Sei $f [mm] \in Abb(A_1, \mathbb{R})$ [/mm] mit [mm] $f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] (x-1)^2 [/mm] + [mm] y^2$. [/mm] Dann ist $f$ auf [mm] $A_1$ [/mm] stetig, und [mm] $f^{-1}(\mathbb{R}) [/mm] = [mm] f^{-1}((-\infty,0) \cup [/mm] [0,1) [mm] \cup [/mm] [1, [mm] \infty)) [/mm] = [mm] f^{-1}((-\infty,0)) \cup f^{-1}([0,1)) \cup f^{-1}([1, \infty)) [/mm] = [mm] \emptyset \cup A_1 \cup \emptyset [/mm] = [mm] A_1 [/mm] = Q [mm] \cap A_1$ [/mm] für eine in [mm] $(\mathbb{R}^2, {\|\|})$ [/mm] offene Teilmenge $Q$ von [mm] $\mathbb{R}^2$, [/mm] denn [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ist offen in [mm] $(\mathbb{R}, \|\|)$. [/mm] Weil aus [mm] $A_1 [/mm] = Q [mm] \cap A_1$ [/mm] folgt, dass $Q = [mm] A_1$, [/mm] ist [mm] $A_1$ [/mm] offen in [mm] $(\mathbb{R}^2, {\|\|})$.
[/mm]
Beweis dass [mm] $A_2$ [/mm] offen in [mm] $(\mathbb{R}^2, {\|\|})$ [/mm] ist:
Sei $f [mm] \in Abb(A_2, \mathbb{R})$ [/mm] mit [mm] $f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) [/mm] = x + y$. Dann ist $f$ auf [mm] $A_2$ [/mm] stetig, und [mm] $f^{-1}(\mathbb{R}) [/mm] = [mm] f^{-1}((-\infty,1) \cup [/mm] [1, [mm] \infty)) [/mm] = [mm] f^{-1}((-\infty,1)) \cup f^{-1}([1, \infty)) [/mm] = [mm] A_2 \cup \emptyset [/mm] = [mm] A_2 [/mm] = Q [mm] \cap A_2$ [/mm] für eine in [mm] $(\mathbb{R}^2, {\|\|})$ [/mm] offene Teilmenge $Q$ von [mm] $\mathbb{R}^2$, [/mm] denn [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ist offen in [mm] $(\mathbb{R}, \|\|)$. [/mm] Weil aus [mm] $A_2 [/mm] = Q [mm] \cap A_2$ [/mm] folgt, dass $Q = [mm] A_2$, [/mm] ist [mm] $A_2$ [/mm] offen in [mm] $(\mathbb{R}^2, {\|\|})$.
[/mm]
Ist das alles richtig?
Viele Grüße,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Do 22.04.2021 | | Autor: | fred97 |
> Ja ich hab nochmal drüber nachgedacht und es jetzt mal
> ganz ausgeführlich aufgeschrieben:
>
> Es ist A nicht abgeschlossen, denn [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \end{pmatrix}[/mm]
> ist eine Folge in [mm]A[/mm],
Es gilt [mm] a_n \in [/mm] A [mm] \gdw [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2.
> die gegen [mm]\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}[/mm]
> konvergiert. Also ist [mm]\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \not\in A[/mm]
> ein Häufungspunkt von A. Weil [mm]A[/mm] nicht abgeschlossen ist,
> ist [mm]A[/mm] nicht kompakt.
Wozu brauchst Du obiges ? A ist nicht abgeschlossen , also auch nicht kompakt. Stimmt alles, ist aber für Dein Anliegen völlig überflüssig !
> Als Durchschnitt von zwei in
> [mm](\mathbb{R}^2, {\|\|})[/mm] offenen Mengen [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] ist [mm]A[/mm]
> offen in [mm](\mathbb{R}^2, {\|\|})[/mm].
>
> Beweis dass [mm]A_1[/mm] offen in [mm](\mathbb{R}^2, {\|\|})[/mm] ist:
>
> Sei [mm]f \in Abb(A_1, \mathbb{R})[/mm] mit [mm]f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = (x-1)^2 + y^2[/mm].
> Dann ist [mm]f[/mm] auf [mm]A_1[/mm] stetig, und [mm]f^{-1}(\mathbb{R}) = f^{-1}((-\infty,0) \cup [0,1) \cup [1, \infty)) = f^{-1}((-\infty,0)) \cup f^{-1}([0,1)) \cup f^{-1}([1, \infty)) = \emptyset \cup A_1 \cup \emptyset = A_1 = Q \cap A_1[/mm]
> für eine in [mm](\mathbb{R}^2, {\|\|})[/mm] offene Teilmenge [mm]Q[/mm] von
> [mm]\mathbb{R}^2[/mm],
Tja, Du sagst nicht , was Q ist !
> denn [mm]\mathbb{R}[/mm] ist offen in [mm](\mathbb{R}, \|\|)[/mm].
> Weil aus [mm]A_1 = Q \cap A_1[/mm] folgt, dass [mm]Q = A_1[/mm], ist
Wieso folgt $Q = [mm] A_1$ [/mm] ? Q = [mm] \IR [/mm] tuts zum Beispiel auch ! Allgemeiner: jede offene Obermenge von [mm] A_1.
[/mm]
> [mm]A_1[/mm]
> offen in [mm](\mathbb{R}^2, {\|\|})[/mm].
>
> Beweis dass [mm]A_2[/mm] offen in [mm](\mathbb{R}^2, {\|\|})[/mm] ist:
>
> Sei [mm]f \in Abb(A_2, \mathbb{R})[/mm] mit [mm]f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = x + y[/mm].
> Dann ist [mm]f[/mm] auf [mm]A_2[/mm] stetig, und [mm]f^{-1}(\mathbb{R}) = f^{-1}((-\infty,1) \cup [1, \infty)) = f^{-1}((-\infty,1)) \cup f^{-1}([1, \infty)) = A_2 \cup \emptyset = A_2 = Q \cap A_2[/mm]
> für eine in [mm](\mathbb{R}^2, {\|\|})[/mm] offene Teilmenge [mm]Q[/mm] von
> [mm]\mathbb{R}^2[/mm], denn [mm]\mathbb{R}[/mm] ist offen in [mm](\mathbb{R}, \|\|)[/mm].
> Weil aus [mm]A_2 = Q \cap A_2[/mm] folgt, dass [mm]Q = A_2[/mm], ist [mm]A_2[/mm]
> offen in [mm](\mathbb{R}^2, {\|\|})[/mm].
Gleiche Kommentare wie bei [mm] A_1.
[/mm]
>
> Ist das alles richtig?
>
> Viele Grüße,
> Martin
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
> Tja, Du sagst nicht , was Q ist !
>
> > denn [mm]\mathbb{R}[/mm] ist offen in [mm](\mathbb{R}, \|\|)[/mm].
> > Weil aus [mm]A_1 = Q \cap A_1[/mm] folgt, dass [mm]Q = A_1[/mm], ist
>
> Wieso folgt [mm]Q = A_1[/mm] ? Q = [mm]\IR[/mm] tuts zum Beispiel auch !
> Allgemeiner: jede offene Obermenge von [mm]A_1.[/mm]
Das ist nun auch wieder wahr. Dann verstehe ich aber auch deine Lösung mit der stetigen Funktion nicht. Der entsprechende Satz in meinem Skript ist:
Stetigkeit und offene Menge:
Seien $(X, [mm] {\|\|}_X)$ [/mm] und $(Y, [mm] {\|\|}_Y)$ [/mm] normierte Räume. Ferner seien [mm] $\emptyset \ne [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] X$ und $f [mm] \in [/mm] Abb(M,Y). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) $f$ ist stetig (auf $M$).
(ii) Zu jeder Teilenge $S$ von $Y$, die in $(Y, [mm] {\|\|}_Y)$ [/mm] offen ist, gibt es eine in $(X, [mm] {\|\|}_X)$ [/mm] offene Teilmenge $Q$ von $X$ mit $f(S) = Q [mm] \cap [/mm] M$. Ist also $M$ offen, so auch $f(S)$.
Ich nehme an, es ist dieser Satz, der dich in deiner Lösung von der Offenheit von [mm] $(-\infty,1)$ [/mm] auf die Offenheit von [mm] $A_1$ [/mm] bzw. [mm] $A_2$ [/mm] schließen lässt? Wenn ja, wie geht das ausführlich und genau?
Danke und Gruß,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Do 22.04.2021 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Tja, Du sagst nicht , was Q ist !
> >
> > > denn [mm]\mathbb{R}[/mm] ist offen in [mm](\mathbb{R}, \|\|)[/mm].
> > > Weil aus [mm]A_1 = Q \cap A_1[/mm] folgt, dass [mm]Q = A_1[/mm], ist
> >
> > Wieso folgt [mm]Q = A_1[/mm] ? Q = [mm]\IR[/mm] tuts zum Beispiel auch !
> > Allgemeiner: jede offene Obermenge von [mm]A_1.[/mm]
>
> Das ist nun auch wieder wahr. Dann verstehe ich aber auch
> deine Lösung mit der stetigen Funktion nicht. Der
> entsprechende Satz in meinem Skript ist:
>
> Stetigkeit und offene Menge:
> Seien $(X, [mm]{\|\|}_X)$[/mm] und $(Y, [mm]{\|\|}_Y)$[/mm] normierte
> Räume. Ferner seien [mm]$\emptyset \ne[/mm] M [mm]\subseteq[/mm] X$ und $f
> [mm]\in[/mm] Abb(M,Y). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
> (i) [mm]f[/mm] ist stetig (auf [mm]M[/mm]).
> (ii) Zu jeder Teilenge [mm]S[/mm] von [mm]Y[/mm], die in [mm](Y, {\|\|}_Y)[/mm] offen
> ist, gibt es eine in [mm](X, {\|\|}_X)[/mm] offene Teilmenge [mm]Q[/mm] von [mm]X[/mm]
> mit [mm]f(S) = Q \cap M[/mm]. Ist also [mm]M[/mm] offen, so auch [mm]f(S)[/mm].
Da stimmt was nicht. Sollte das nicht [mm]f^{-1}(S) = Q \cap M[/mm] lauten ?
>
> Ich nehme an, es ist dieser Satz, der dich in deiner
> Lösung von der Offenheit von [mm](-\infty,1)[/mm] auf die Offenheit
> von [mm]A_1[/mm] bzw. [mm]A_2[/mm] schließen lässt? Wenn ja, wie geht das
> ausführlich und genau?
Ja, diesen Satz meinte ich (mit der Korrektur von mir).
Ich übernehme Deine Bezeichnungen von oben und formuliere den Satz neu:
Satz: die folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) f ist stetig auf M;
(ii) für jede in Y offene Menge S ist [mm] f^{-1}(S) [/mm] offen in M (d.h. es gibt eine in X offene Menge Q mit [mm] f^{-1}(S)=Q \cap [/mm] M.
Jetzt zu unserer Menge [mm] A_1:
[/mm]
Wir def. $g: [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] durch $g(x,y)=x+y.$
Hier ist also X= [mm] \IR^2 [/mm] (mit der Euklidischen Norm) und Y= [mm] \IR [/mm] (mit dem Betrag als Norm).
g is zweifelohne stetig auf [mm] \IR. [/mm] Ist also S eine offene Menge in [mm] \IR, [/mm] so ist [mm] $g^{-1}(S)$ [/mm] offen in [mm] \IR^2.
[/mm]
Wir wählen speziell $S=( - [mm] \infty,1).$ [/mm] S ist offen in [mm] \IR, [/mm] somit ist [mm] $g^{-1}(S)$ [/mm] offen in [mm] \IR^2.
[/mm]
Nun ist aber [mm] $g^{-1}(S)$ [/mm] gerade [mm] $=A_1.$ [/mm] Damit ist [mm] A_1 [/mm] offen in [mm] \IR^2.
[/mm]
Genauso kannst Du mit [mm] A_2 [/mm] verfahren, wenn Du die Funktion [mm] f(x,y)=(x-1)^2+y^2 [/mm] verwendest.
>
> Danke und Gruß,
> Martin
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Wir wählen speziell [mm]S=( - \infty,1).[/mm] S ist offen in [mm]\IR,[/mm]
> somit ist [mm]g^{-1}(S)[/mm] offen in [mm]\IR^2.[/mm]
>
> Nun ist aber [mm]g^{-1}(S)[/mm] gerade [mm]=A_1.[/mm] Damit ist [mm]A_1[/mm] offen in
> [mm]\IR^2.[/mm]
Leider hast du wieder genau da abgekürzt, wo ich nicht folgen kann: Der Satz sagt doch nur, dass [mm] $f^{-1}(S) [/mm] = Q [mm] \cap [/mm] M$ und dass das für eine in [mm] $(X,\|\|)$ [/mm] offene Menge $Q$ gilt. Wir haben $S = [mm] (-\infty,1)$ [/mm] offen in [mm] (\IR, \|\|) [/mm] und $M = [mm] A_1$. [/mm] Wieso folgt aus der Offenheit von irgendeinem offenen $Q$ nun, dass $M = [mm] A_1$ [/mm] offen ist?
Danke und Gruß,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Do 22.04.2021 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
>
> > Wir wählen speziell [mm]S=( - \infty,1).[/mm] S ist offen in [mm]\IR,[/mm]
> > somit ist [mm]g^{-1}(S)[/mm] offen in [mm]\IR^2.[/mm]
> >
> > Nun ist aber [mm]g^{-1}(S)[/mm] gerade [mm]=A_1.[/mm] Damit ist [mm]A_1[/mm] offen in
> > [mm]\IR^2.[/mm]
>
> Leider hast du wieder genau da abgekürzt, wo ich nicht
> folgen kann: Der Satz sagt doch nur, dass [mm]f^{-1}(S) = Q \cap M[/mm]
> und dass das für eine in [mm](X,\|\|)[/mm] offene Menge [mm]Q[/mm] gilt. Wir
> haben [mm]S = (-\infty,1)[/mm] offen in [mm](\IR, \|\|)[/mm] und [mm]M = A_1[/mm].
> Wieso folgt aus der Offenheit von irgendeinem offenen [mm]Q[/mm]
> nun, dass [mm]M = A_1[/mm] offen ist?
> Danke und Gruß,
> Martin
Im Satz war M eine Teilmengen von X. In der Anwendung auf [mm] A_1 [/mm] ist M= [mm] \IR.
[/mm]
Ich glaube , das Du mit dem Begriff der Spurtopologie (Relativtopologie) nicht vertraut bist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Do 22.04.2021 | | Autor: | sancho1980 |
> Im Satz war M eine Teilmengen von X. In der Anwendung auf
> [mm]A_1[/mm] ist M= [mm]\IR.[/mm]
>
> Ich glaube , das Du mit dem Begriff der Spurtopologie
> (Relativtopologie) nicht vertraut bist.
Tatsächlich nicht, aber ich glaub jetzt hab ich die Lösung verstanden. Ich hatte $f$ als eine Funktion von [mm] $A_1$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] definiert, was du nicht moniert hattest. Ich muss also für den Definitionsbereich $D$ von $f$ eine Menge wählen, von der ich von vornherein weiß, dass sie offen ist und dann schauen, ob das Bild derjenigen Untermenge von $D$, die ich auf Offenheit prüfen will (hier [mm] $A_1$), [/mm] offen ist.
Vielen Dank,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Do 22.04.2021 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
irgendwie scheinst du sehr konsequent zu ignorieren, dass es nicht um die Bilder, sondern um die Urbilder geht. Auch in deinem zitierten Satz hast du (absichtlich?) die Urbilder [mm] $f^{-1}( [/mm] - )$ einfach zu Bildern $f( - )$ umgeschrieben. Und in deinen beiden Rückfragen zu Freds Antworten hast du ebenfalls Urbilder und Bilder gleichgesetzt.
Dir scheint nicht klar zu sein, was Urbilder sind bzw. was der Unterschied zwischen Urbildern und Bildern einer Funktion ist.
Ich würde dir empfehlen, folgende Begriffe nachzulesen und zu versuchen zu verstehen:
* Urbilder von Funktionen
* Stetigkeit in topologischen Räumen
* Teilraumtopologie
(in chronologischer Reihenfolge).
Dann ergibt vieles hoffentlich mehr Sinn und auch der von dir zitierte Satz wird dann schnell deutlich.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hi,
>
> irgendwie scheinst du sehr konsequent zu ignorieren, dass
> es nicht um die Bilder, sondern um die Urbilder geht. Auch
> in deinem zitierten Satz hast du (absichtlich?) die
> Urbilder [mm]f^{-1}( - )[/mm] einfach zu Bildern [mm]f( - )[/mm]
> umgeschrieben.
Nein, das war ein Tippfehler, und ich denke der Unterschied zwischen Bild und Urbild ist mir klar. Ist denn jetzt an meiner letzten Zusammenfassung immer noch etwas falsch?
Danke und Gruß,
Martin
|
|
|
| |
|
Ich verstehe deine letzte Zusammenfassung nicht.
> Ich muss also für den Definitionsbereich $ D $ von $ f $ eine Menge wählen,
> von der ich von vornherein weiß, dass sie offen ist und dann schauen, ob das
> Bild derjenigen Untermenge von $ D $, die ich auf Offenheit prüfen will (hier $ > [mm] A_1 [/mm] $), offen ist.
Du meinst vermutlich Teilmenge von $D$. Aber auch dann stimmt das nicht. Zunächst sind Bilder offener Mengen nicht notwendigerweise offen, das impliziert die Stetigkeit von $f$ nicht.
Und auch wenn dem so wäre, weiß ich nicht, was es dir bringt, dass für eine offene Teilmenge $A [mm] \subset [/mm] D$ das Bild $f(A)$ offen ist.
Worum es eigentlich geht:
* Urbilder offener Mengen sind offen. (Stetigkeit)
* Auf jeder Teilmenge [mm] $A\subset [/mm] X$ eines top. Raumes $(X, [mm] \mathcal{O}_X)$ [/mm] lässt sich die Teilraumtopologie [mm] $\mathcal{O}_A$ [/mm] definieren vermöge
[mm] $\mathcal{O}_A [/mm] := [mm] \{ A\cap \Omega \mid \Omega \in \mathcal{O}_X\}$
[/mm]
Dadurch wird die Teilmenge [mm] $A\subset [/mm] X$ zu einem topologischen Raum $(A, [mm] \mathcal{O}_A)$.
[/mm]
Freds Lösung war insofern sehr schön, da er stetige Funktionen [mm] $f,g\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ [/mm] definiert hat, die für zwei bereits bekannte offene Teilmengen des Zielraums [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] die für uns interessanten Teilmengen [mm] $A_1,A_2\subset \mathbb{R}^2$ [/mm] als Urbilder besitzen.
Und da beide Funktionen $f,g$ ersichtlich stetig sind, folgt sofort, dass [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] beide offen sein müssen.
Nirgendwo in dem Argument ist aber die Rede von Bildern [mm] $f(A_1), f(A_2)$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Ich verstehe deine letzte Zusammenfassung nicht.
>
> > Ich muss also für den Definitionsbereich [mm]D[/mm] von [mm]f[/mm] eine
> Menge wählen,
> > von der ich von vornherein weiß, dass sie offen ist und
> dann schauen, ob das
> > Bild derjenigen Untermenge von [mm]D [/mm], die ich auf Offenheit
> prüfen will (hier [mm]> A_1 [/mm]), offen ist.
>
> Du meinst vermutlich Teilmenge von [mm]D[/mm]. Aber auch dann stimmt
> das nicht. Zunächst sind Bilder offener Mengen nicht
> notwendigerweise offen, das impliziert die Stetigkeit von [mm]f[/mm]
> nicht.
>
> Und auch wenn dem so wäre, weiß ich nicht, was es dir
> bringt, dass für eine offene Teilmenge [mm]A \subset D[/mm] das
> Bild [mm]f(A)[/mm] offen ist.
Das hab ich doch nicht gesagt. Ich wollte zusammenfassend doch nur sagen, dass ich in dem von mir zitierten Satz für $M$ nicht mein [mm] $A_1$ [/mm] sondern eine offene Obermenge $O$ von [mm] $A_1$ [/mm] einsetzen muss. Wenn nun [mm] $f(A_1) [/mm] = Q$ für eine offene Menge $Q$ und [mm] $f^{-1}(Q) [/mm] = [mm] A_1 \cap [/mm] O = [mm] A_1$, [/mm] dann darf ich folgern, dass [mm] $A_1$ [/mm] offen ist.
Oder nicht?
Gruß,
Martin
|
|
|
| |
|
>
> Das hab ich doch nicht gesagt. Ich wollte zusammenfassend
> doch nur sagen, dass ich in dem von mir zitierten Satz für
> [mm]M[/mm] nicht mein [mm]A_1[/mm] sondern eine offene Obermenge [mm]O[/mm] von [mm]A_1[/mm]
> einsetzen muss. Wenn nun [mm]f(A_1) = Q[/mm] für eine offene Menge
> [mm]Q[/mm] und [mm]f^{-1}(Q) = A_1 \cap O = A_1[/mm], dann darf ich folgern,
> dass [mm]A_1[/mm] offen ist.
>
> Oder nicht?
>
> Gruß,
> Martin
Also, schauen wir mal was dein Satz eigentlich genau sagt:
> (ii) Zu jeder Teilenge $S [mm] \subset [/mm] Y$, die in $(Y, [mm] {\|\|}_Y)$ [/mm] offen ist, gibt es eine in $(X, [mm] {\|\|}_X)$ [/mm] offene
> Teilmenge $Q [mm] \subset [/mm] X$ mit [mm] $f^{-1}(S) [/mm] = Q [mm] \cap [/mm] M$. Ist also $M$ offen, so auch [mm] $f^{-1}(S)$
[/mm]
Das ist nichts anderes als folgende Beobachtung:
* Urbilder offener Mengen sind offen unter stetigen Abbildungen
* In der durch $X$ induzierten Teilraumtopologie auf einer Teilmenge [mm] $Q\subset [/mm] X$ haben die offenen Mengen in $(Q, [mm] \Vert \cdot \Vert_Q)$ [/mm] die Form [mm] $Q\cap [/mm] M$, wobei $M [mm] \in \Vert \cdot \Vert_X$ [/mm] eine beliebige offene Menge in $X$ ist.
* Ist also eine Abbildung $f$ vom Teilraum $(Q, [mm] \Vert \cdot \Vert_Q)$ [/mm] (d.h. der Teilmenge [mm] $Q\subset [/mm] X$ ausgestattet mit der Teilraumtopologie) nach [mm] $(Y,\Vert \cdot \Vert_Y)$ [/mm] stetig, so haben die Urbilder [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] offener Mengen $B [mm] \in \Vert \cdot \Vert_Y$ [/mm] die Form [mm] $Q\cap [/mm] M$ für ein geeignetes offenes $M [mm] \in \Vert \cdot \Vert_X$.
[/mm]
Das klärt hoffentlich deine Frage, weil ich mich jetzt ungern durch alle Beiträge in diesem Thread durchklicken möchte um zu verstehen, was du wo genau wie definieren willst.
Ganz allgemein: Stetigkeit von Funktionen (sowie Offenheit von Mengen) ist eine Eigenschaft, die immer bezüglich der gewählten Topologien zu verstehen ist. In dieser Aufgabe wird nicht gesagt, welche Topologien auf [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gegeben sind, demnach ist davon auszugehen, dass jeweils die Standardtopologie verwendung findet.
Die ganze Diskussion um die Teilraumtopologie ist hier im Grunde genommen garnicht nötig.
Existiert eine Abbildung [mm] $f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ [/mm] die (bezüglich der Standardtopologien auf [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] und [mm] $\mathbb{R}$) [/mm] stetig ist und ist [mm] $A_1$ [/mm] das Urbild einer (bezüglich der Standardtopologie auf [mm] $\mathbb{R}$) [/mm] offenen Menge [mm] $B\subset \mathbb{R}$, [/mm] so ist [mm] $A_1$ [/mm] offen in [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] (bezüglich der Standardtopologie auf [mm] $\mathbb{R}^2$).
[/mm]
Genau diese Beobachtung hat sich Fred zu nutze gemacht, als er die beiden Funktionen $f,g$ definiert hat.
|
|
|
|
