Zeigen dass K ein Kreis is < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 So 16.03.2014 | | Autor: | rekees |
| Aufgabe | Es seien zwei voneinander verschiedene Punkte [mm] p_{1}, p_{2} \in \IR^{2} [/mm] gegeben sowie eine positive
reelle Zahl C [mm] \not= [/mm] 1. Zeigen Sie, daß dann
K := { x [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] \parallel [/mm] x − [mm] p_{1} \parallel [/mm] = C [mm] \parallel [/mm] x − [mm] p_{2} \parallel [/mm] } ein Kreis ist. |
Hallo zusammen,
bei mir steht in der nächsten Zeit eine Prüfung an und ich bin gerade diverse Aufgaben am rechnen dafür. Leider komme ich nicht mit allen Aufgaben zurecht, daher hoffe ich hier ein wenig Unterstützung zu finden.
Aus irgendeinem Grund komme ich mit der obigen Aufgabe überhaupt nicht zurecht.
Hätte jemand einen Ansatz von dem aus ich weiterüberlegen könnte? Das wäre schonmal klasse. Vielleicht sehe ich auch gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 So 16.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Es seien zwei voneinander verschiedene Punkte [mm]p_{1}, p_{2} \in \IR^{2}[/mm]
> gegeben sowie eine positive
> reelle Zahl C [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1. Zeigen Sie, daß dann
> K := { x [mm]\in \IR^{2}[/mm] | [mm]\parallel[/mm] x − [mm]p_{1} \parallel[/mm] = C
> [mm]\parallel[/mm] x − [mm]p_{2} \parallel[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ein Kreis ist.
> Hallo zusammen,
>
> bei mir steht in der nächsten Zeit eine Prüfung an und
> ich bin gerade diverse Aufgaben am rechnen dafür. Leider
> komme ich nicht mit allen Aufgaben zurecht, daher hoffe ich
> hier ein wenig Unterstützung zu finden.
>
> Aus irgendeinem Grund komme ich mit der obigen Aufgabe
> überhaupt nicht zurecht.
> Hätte jemand einen Ansatz von dem aus ich weiterüberlegen
> könnte? Das wäre schonmal klasse. Vielleicht sehe ich
> auch gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Hallo,
die Beschriftung ist ist vom Aufgabensteller etwas blöd gewählt. Ich benenne mal um: Bei mir wird $p_1$ mit p bezeichnet und besitzt die Koordinaten $(p_x|p_y)$. Dein $p_2$ nenne ich q mit den Koordinaten $(q_x|q_y)$. Was bei dir x ist, nenne ich z=(x|y).
Dein |x-$p_1$| hat dann in meiner Schreibweise die Form $\sqrt{(x-p_x)^2+(y-p_y)^2}$, und dein |x-$p_2| hat dann in meiner Schreibweise die Form $\sqrt{(x-q_x)^2+(y-q_y)^2}$ .
Somit gilt
$\sqrt{(x-p_x)^2+(y-p_y)^2} =C* \sqrt{(x-q_x)^2+(y-q_y)^2} $.
Quadriert ergibt das $ (x-p_x)^2+(y-p_y)^2=C^2* (x-q_x)^2+(y-q_y)^2 $.
Wenn du das ein wenig umformst, quadratisch ergänzt usw., solltest du auf eine Gleichung der Form
$(x-...)^2+(y-...)^2=...$ kommen.
Kleiner Tipp am Rande: der in der Aufgabe ausgeschlossene Fall C=1 ergäbe keinen Kreis, sondern die Mittelsenkrechte der gegebenen Punkte.
In der von dir zu bearbeitenden Aufgabe ergibt sich ein Kreis nach dem Satz des Apollonius (dessen Durchmesser vom inneren und äußeren Teilpunkt deiner Strecke $\overline{p_1p_2}$ beim Teilverhältnis C:1 begrenzt wird).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 16.03.2014 | | Autor: | rekees |
Hi,
deine Umbenennung finde ich besser sie ist übersichtlicher. Ich würde die Punkte evtl nur so nennen: p= $ [mm] (p_r|p_s) [/mm] $ und q= $ [mm] (q_r|q_s) [/mm] $ wegen z=(x|y)
$ [mm] (x-p_r)^2+(y-p_r)^2=C^2\cdot{} (x-q_r)^2+(y-q_r)^2 [/mm] $
[mm] $\gdw x^2 [/mm] - [mm] 2xp_r [/mm] + [mm] p_r^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] 2yp_s [/mm] + [mm] p_s^2 [/mm] = [mm] Cx^2 -Cxq_r+Cq_r^2 [/mm] + [mm] Cy^2 -Cyq_s [/mm] + [mm] Cy^2$ [/mm]
$ [mm] \gdw x^2 [/mm] - [mm] Cx^2 +y^2 [/mm] - [mm] Cy^2 -2xp_r [/mm] + [mm] 2yp_s +p_r^2 +p_s^2 [/mm] - [mm] Cp_r^2 [/mm] - [mm] Cp_s^2=0$
[/mm]
so an der stelle bin ich jetzt habe aber gerade keine idee für eine vernünftige quadratische ergänzung wie ich das dann umformen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 So 16.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> deine Umbenennung finde ich besser sie ist
> übersichtlicher. Ich würde die Punkte evtl nur so nennen:
> p= [mm](p_r|p_s)[/mm] und q= [mm](q_r|q_s)[/mm] wegen z=(x|y)
>
> [mm](x-p_r)^2+(y-p_r)^2=C^2\cdot{} (x-q_r)^2+(y-q_r)^2[/mm]
> [mm]\gdw x^2 - 2xp_r + p_r^2 + y^2 - 2yp_s + p_s^2 = Cx^2 -Cxq_r+Cq_r^2 + Cy^2 -Cyq_s + Cy^2[/mm]
> [mm]\gdw x^2 - Cx^2 +y^2 - Cy^2 -2xp_r + 2yp_s +p_r^2 +p_s^2 - Cp_r^2 - Cp_s^2=0[/mm]
>
> so an der stelle bin ich jetzt habe aber gerade keine idee
> für eine vernünftige quadratische ergänzung wie ich das
> dann umformen könnte.
[mm](1-C)x^2 -2xp_r +(1-C)y^2 + 2yp_s +(1-C)p_r^2 +(1-C)p_s^2=0[/mm]
Jetzt solltest du durch (1-C) teilen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 So 16.03.2014 | | Autor: | rekees |
die idee hatte ich auch, aber hab mir gedacht wozu das ausklammern, bzw ich wollte C ausklammern ich dussel.. ich rechne das mal weiter und melde mich gleich nochmal Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 16.03.2014 | | Autor: | rekees |
tut mir leid ich komme nicht drauf, außerdem hatte sich oben bei mir ein schreibfehler eingeschlichen entschuldige bitte.
bin jetzt soweit:
$ [mm] x^2 [/mm] - [mm] 2xp_r [/mm] + [mm] p_r^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] 2yp_s [/mm] + [mm] p_s^2 [/mm] = [mm] Cx^2 -C2xq_r+Cq_r^2 [/mm] + [mm] Cy^2 -C2yq_s [/mm] + [mm] Cq_s^2 [/mm] $
$ [mm] \gwd x^2 [/mm] - [mm] 2xp_r [/mm] + [mm] p_r^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] 2yp_s [/mm] + [mm] p_s^2 [/mm] - [mm] Cx^2 +C2xq_r-Cq_r^2 [/mm] - [mm] Cy^2 +C2yq_s [/mm] - [mm] Cq_s^2 [/mm] =0$
$ [mm] \gwd x^2- Cx^2 [/mm] - [mm] 2xp_r+C2xq_r [/mm] + [mm] p_r^2 -Cq_r^2+ y^2- Cy^2 [/mm] + [mm] 2yp_s-C2yq_s- C2q_s^2 [/mm] + [mm] p_s^2 [/mm] =0$
$ [mm] \gwd [/mm] (1- [mm] C)x^2 [/mm] +(1- [mm] C)y^2- 2xp_r+C2xq_r [/mm] + [mm] p_r^2 -Cq_r^2 [/mm] + [mm] 2yp_s-C2yq_s- C2q_s^2 [/mm] + [mm] p_s^2 [/mm] =0$
und das wars da hänge ich wieder
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 So 16.03.2014 | | Autor: | abakus |
> tut mir leid ich komme nicht drauf, außerdem hatte sich
> oben bei mir ein schreibfehler eingeschlichen entschuldige
> bitte.
> bin jetzt soweit:
>
> [mm]x^2 - 2xp_r + p_r^2 + y^2 - 2yp_s + p_s^2 = Cx^2 -C2xq_r+Cq_r^2 + Cy^2 -C2yq_s + Cq_s^2[/mm]
>
> [mm]\gwd x^2 - 2xp_r + p_r^2 + y^2 - 2yp_s + p_s^2 - Cx^2 +C2xq_r-Cq_r^2 - Cy^2 +C2yq_s - Cq_s^2 =0[/mm]
>
> [mm]\gwd x^2- Cx^2 - 2xp_r+C2xq_r + p_r^2 -Cq_r^2+ y^2- Cy^2 + 2yp_s-C2yq_s- C2q_s^2 + p_s^2 =0[/mm]
>
> [mm]\gwd (1- C)x^2 +(1- C)y^2- 2xp_r+C2xq_r + p_r^2 -Cq_r^2 + 2yp_s-C2yq_s- C2q_s^2 + p_s^2 =0[/mm]
>
> und das wars da hänge ich wieder
Teile durch (1-C) und mache die quadratische Ergänzung getrennt für den Teil mit x und für den Teil mit y.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 16.03.2014 | | Autor: | rekees |
so?
$ [mm] \gwd [/mm] (1- [mm] C)x^2 [/mm] +(1- [mm] C)y^2- 2xp_r+C2xq_r [/mm] + [mm] p_r^2 -Cq_r^2 [/mm] + [mm] 2yp_s-C2yq_s- Cq_s^2 [/mm] + [mm] p_s^2 [/mm] =0 $
$ [mm] \gwd x^2 +y^2- \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_s^2}{(1- C)} [/mm] =0 $
$ [mm] \gwd x^2 [/mm] - [mm] \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 [/mm] + [mm] \bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_s^2}{(1- C)} [/mm] =0 $
bin ich zu blöd das jetzt zu sehen oder hab ich nen fehler drin?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 16.03.2014 | | Autor: | abakus |
> so?
>
> [mm]\gwd (1- C)x^2 +(1- C)y^2- 2xp_r+C2xq_r + p_r^2 -Cq_r^2 + 2yp_s-C2yq_s- Cq_s^2 + p_s^2 =0[/mm]
>
> [mm]\gwd x^2 +y^2- \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)} + \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} + \bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} + \bruch{p_s^2}{(1- C)} =0[/mm]
>
> [mm]\gwd x^2 - \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)} + \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 + \bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} + \bruch{p_s^2}{(1- C)} =0[/mm]
>
> bin ich zu blöd das jetzt zu sehen oder hab ich nen fehler
> drin?
[mm]\gwd x^2 \blue{- \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)}} + \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 + \bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} + \bruch{p_s^2}{(1- C)} =0[/mm]
Der blaue Teil ist [mm]\blue{2*\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)}*x}[/mm], und für die quadratische Ergänzung brauchst du dann noch [mm]\blue{\left(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)}\right)^2}[/mm].
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 So 16.03.2014 | | Autor: | rekees |
ich rechne es mal eben durch, aber es sieht jetzt schon ziemlich igitt aus 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 16.03.2014 | | Autor: | rekees |
so mal alles fein säuberlich aufgeschrieben, passt das jetzt so?
$K := { x $ [mm] \in \IR^{2} [/mm] $ | $ [mm] \parallel [/mm] x − [mm] p_{1} \parallel [/mm] $ = C $ [mm] \parallel [/mm] x − [mm] p_{2} \parallel [/mm] $ }$
sei nun [mm] p_1 [/mm] = p mit p=$ [mm] (p_r|p_s) [/mm] $ und [mm] p_2 [/mm] = q mit q=$ [mm] (p_r|p_s) [/mm] $ und x = z mit z = (x|y)
[mm] |z-$p_1$| [/mm] = [mm] $\sqrt{(x-p_r)^2+(y-p_s)^2}$ [/mm] und $ |z-q| = [mm] $\sqrt{(x-q_r)^2+(y-q_s)^2}$ [/mm] $
dies ergibt:
$ [mm] \sqrt{(x-p_r)^2+(y-p_s)^2} =C\cdot{} \sqrt{(x-q_r)^2+(y-q_s)^2} [/mm] $
[mm] $\gdw x^2 [/mm] - [mm] 2xp_r [/mm] + [mm] p_r^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] 2yp_s [/mm] + [mm] p_s^2 [/mm] = [mm] Cx^2 -C2xq_r+Cq_r^2 [/mm] + [mm] Cy^2 -C2yq_s [/mm] + [mm] Cq_s^2 [/mm] $
$ [mm] \gdw x^2 [/mm] - [mm] 2xp_r [/mm] + [mm] p_r^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] 2yp_s [/mm] + [mm] p_s^2 [/mm] - [mm] Cx^2 +C2xq_r-Cq_r^2 [/mm] - [mm] Cy^2 +C2yq_s [/mm] - [mm] Cq_s^2 [/mm] =0 $
$ [mm] \gdw x^2- Cx^2 [/mm] - [mm] 2xp_r+C2xq_r [/mm] + [mm] p_r^2 -Cq_r^2+ y^2- Cy^2 [/mm] + [mm] 2yp_s-C2yq_s- C2q_s^2 [/mm] + [mm] p_s^2 [/mm] =0 $
$ [mm] \gdw [/mm] (1- [mm] C)x^2 [/mm] +(1- [mm] C)y^2- 2xp_r+C2xq_r [/mm] + [mm] p_r^2 -Cq_r^2 [/mm] + [mm] 2yp_s-C2yq_s- C2q_s^2 [/mm] + [mm] p_s^2 [/mm] =0 $
$ [mm] \gdw x^2 +y^2- \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_s^2}{(1- C)} [/mm] =0 $
$ [mm] \gdw x^2 [/mm] - [mm] \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 [/mm] + [mm] \bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_s^2}{(1- C)} [/mm] =0 $
$ [mm] \gdw x^2 \blue{- \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)}} [/mm] + [mm] \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 [/mm] + [mm] \blue{\bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_s^2}{(1- C)} [/mm] =0 $
$ [mm] \gdw x^2 [/mm] + [mm] \blue{2\cdot{}\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)}\cdot{}x} [/mm] + [mm] \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 [/mm] + [mm] \blue{2 \cdot\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)}\cdot y}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_s^2}{(1- C)} [/mm] =0 $
$ [mm] \gdw x^2 [/mm] + [mm] \blue{2\cdot{}\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)}\cdot{}x} +\blue{(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} [/mm] - [mm] \blue{(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} [/mm] + [mm] \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 [/mm] + [mm] \blue{2 \cdot\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)}\cdot y}+ \blue{(\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2} [/mm] - [mm] \blue{(\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_s^2}{(1- C)} [/mm] =0 $
$ [mm] \gdw \blue{(x +\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} [/mm] - [mm] \blue{(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} [/mm] + [mm] \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +\blue{(y +\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2} [/mm] - [mm] \blue{(\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \bruch{p_s^2}{(1- C)} [/mm] =0 $
$ [mm] \gdw \blue{(x +\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} +\blue{(y +\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2} [/mm] = [mm] \blue{(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} [/mm] - [mm] \bruch{p_r^2}{(1- C)} +\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] \blue{(\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2}+ \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} [/mm] - [mm] \bruch{p_s^2}{(1- C)}$
[/mm]
$ [mm] \gdw \blue{(x +\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} +\blue{(y +\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2} [/mm] = [mm] (\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})\cdot(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)}) [/mm] - [mm] \bruch{p_r^2}{(1- C)} +\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] (\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})\cdot (\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})+ \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} [/mm] - [mm] \bruch{p_s^2}{(1- C)}$
[/mm]
$ [mm] \gdw \blue{(x +\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} +\blue{(y +\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2} [/mm] = [mm] (\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})\cdot (\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)}) [/mm] + [mm] \bruch{-p_r^2+Cq_r^2}{(1- C)} [/mm] + [mm] (\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})\cdot (\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})- \bruch{p_s^2 -Cq_s^2}{(1- C)}$
[/mm]
so fertig oder fehler drin? :-D jedenfalls brummt mir der schädel wegen der vielen variablen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 So 16.03.2014 | | Autor: | abakus |
> so mal alles fein säuberlich aufgeschrieben, passt das
> jetzt so?
>
> [mm]K := { x[/mm] [mm]\in \IR^{2}[/mm] [mm]|[/mm] [mm]\parallel[/mm] x − [mm]p_{1} \parallel[/mm]
> [mm]= C[/mm] [mm]\parallel[/mm] x − [mm]p_{2} \parallel[/mm] [mm]}[/mm]
>
>
> sei nun [mm]p_1[/mm] = p mit p=[mm] (p_r|p_s)[/mm] und [mm]p_2[/mm] = q mit q=[mm] (p_r|p_s)[/mm]
> und x = z mit z = (x|y)
> |z-[mm]p_1[/mm]| = [mm]\sqrt{(x-p_r)^2+(y-p_s)^2}[/mm] und [mm]|z-q| =[/mm][mm] \sqrt{(x-q_r)^2+(y-q_s)^2}[/mm][mm][/img]
>
> dies ergibt:
> [mm]\sqrt{(x-p_r)^2+(y-p_s)^2} =C\cdot{} \sqrt{(x-q_r)^2+(y-q_s)^2} [/mm]
>
> [mm]\gdw x^2 - 2xp_r + p_r^2 + y^2 - 2yp_s + p_s^2 = Cx^2 -C2xq_r+Cq_r^2 + Cy^2 -C2yq_s + Cq_s^2[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2 - 2xp_r + p_r^2 + y^2 - 2yp_s + p_s^2 - Cx^2 +C2xq_r-Cq_r^2 - Cy^2 +C2yq_s - Cq_s^2 =0[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2- Cx^2 - 2xp_r+C2xq_r + p_r^2 -Cq_r^2+ y^2- Cy^2 + 2yp_s-C2yq_s- C2q_s^2 + p_s^2 =0[/mm]
>
> [mm]\gdw (1- C)x^2 +(1- C)y^2- 2xp_r+C2xq_r + p_r^2 -Cq_r^2 + 2yp_s-C2yq_s- C2q_s^2 + p_s^2 =0[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2 +y^2- \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)} + \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} + \bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} + \bruch{p_s^2}{(1- C)} =0[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2 - \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)} + \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 + \bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} + \bruch{p_s^2}{(1- C)} =0[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2 \blue{- \bruch{2xp_r}{(1- C)}+\bruch{C2xq_r}{(1- C)}} + \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 + \blue{\bruch{2yp_s}{(1- C)}-\bruch{C2yq_s}{(1- C)}}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} + \bruch{p_s^2}{(1- C)} =0[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2 + \blue{2\cdot{}\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)}\cdot{}x} + \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 + \blue{2 \cdot\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)}\cdot y}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} + \bruch{p_s^2}{(1- C)} =0[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2 + \blue{2\cdot{}\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)}\cdot{}x} +\blue{(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} - \blue{(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} + \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +y^2 + \blue{2 \cdot\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)}\cdot y}+ \blue{(\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2} - \blue{(\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} + \bruch{p_s^2}{(1- C)} =0[/mm]
>
> [mm]\gdw \blue{(x +\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} - \blue{(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} + \bruch{p_r^2}{(1- C)} -\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} +\blue{(y +\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2} - \blue{(\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2}- \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} + \bruch{p_s^2}{(1- C)} =0[/mm]
>
> [mm]\gdw \blue{(x +\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} +\blue{(y +\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2} = \blue{(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} - \bruch{p_r^2}{(1- C)} +\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} + \blue{(\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2}+ \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} - \bruch{p_s^2}{(1- C)}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw \blue{(x +\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} +\blue{(y +\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2} = (\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})\cdot(\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)}) - \bruch{p_r^2}{(1- C)} +\bruch{Cq_r^2}{(1- C)} + (\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})\cdot (\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})+ \bruch{Cq_s^2}{(1- C)} - \bruch{p_s^2}{(1- C)}[/mm]
>
> [mm]\gdw \blue{(x +\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})^2} +\blue{(y +\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})^2} = (\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)})\cdot (\bruch{-p_r+Cq_r}{(1- C)}) + \bruch{-p_r^2+Cq_r^2}{(1- C)} + (\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})\cdot (\bruch{p_s -Cq_s}{(1- C)})- \bruch{p_s^2 -Cq_s^2}{(1- C)}[/mm]
>
>
> so fertig oder fehler drin? :-D jedenfalls brummt mir der
> schädel wegen der vielen variablen
Hallo,
jetzt ist noch zu klären, ob die rechte Seite wirklich positiv ist (und somit die Rolle von [mm] $r^2$ [/mm] einnehmen kann).
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 16.03.2014 | | Autor: | rekees |
Mir schwirren jetzt verschiedene sachen durch den Kopf, dass ich das in verschiedene binomische Formeln umbauen könnte z.b. aber auf mehr komme ich gerade nicht.
Die ganzen Quadratzahlen auf der rechten Seite bringen mich ja nur bedingt weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 So 16.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mir schwirren jetzt verschiedene sachen durch den Kopf,
> dass ich das in verschiedene binomische Formeln umbauen
> könnte z.b. aber auf mehr komme ich gerade nicht.
> Die ganzen Quadratzahlen auf der rechten Seite bringen
> mich ja nur bedingt weiter...
naja, bringe erst mal die rechte Seite auf einen Bruch - im Nenner steht dann
[mm] $(1-C)^2\,,$ [/mm] was sicher stets $> [mm] 0\,$ [/mm] ist.
Ein Bruch
$Z/N$
mit einem $N > [mm] 0\,$ [/mm] ist genau dann $> [mm] 0\,,$ [/mm] wenn $Z > [mm] 0\,$ [/mm] ist. Und wenn Du
eine Ungleichung beweisen sollst:
Forme sie solange äquivalent um, bis eine offensichtlich wahre Ausssage
da steht, und dann benutze die [mm] $\Leftarrow$-Symbole, [/mm] um aus dieser wahren
Aussage und den entsprechenden Umformungen die Behauptung abzulesen.
Beispiel:
Für $x > [mm] 0\,$ [/mm] gilt
[mm] $x+\frac{1}{x} \ge 2\,.$
[/mm]
**************
"Schmierzettel" (wobei man das auch nicht unbedingt so sehen müßte -
eigentlich ist das hier auch ein Beweis):
$x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$
[mm] $\iff$ $x^2+1 \ge [/mm] 2x$ (bei [mm] $\Leftarrow$ [/mm] und [mm] $\Rightarrow$ [/mm] braucht man $x > [mm] 0\,$)
[/mm]
[mm] $\iff$ $x^2-2x+1 \ge [/mm] 0$
[mm] $\iff$ $(x-1)^2 \ge 0\,.$
[/mm]
**************
Jetzt der eigentliche Beweis:
Es gilt
[mm] $(x-1)^2 \ge 0\,.$
[/mm]
Daher:
[mm] $(x-1)^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Longrightarrow$ $x^2-2x+1 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Longrightarrow$ $x^2+1 \ge [/mm] 2x$
[mm] $\Longrightarrow$ $x+\frac{1}{x} \ge [/mm] 2x/x=2$ (wegen $x > [mm] 0\,$).
[/mm]
P.S.
Siehe auch im Artikel
https://matheraum.de/read?t=963011:
Wie funktioniert der Beweis einer Aussage [mm] $B\,$? [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Mo 17.03.2014 | | Autor: | rekees |
Vielen Dank für eure wertvolle Hilfe bisher. Ich habe noch einmal nachgefragt bei Freunden von denen ich vage wußte, dass sie die Aufgabe auch mal hatten und die haben mir den Tipp gegeben [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] fest zu wählen und von dort aus weiter zu machen. Damit ist das ganze ein 4-5 Zeiler quasi.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mo 17.03.2014 | | Autor: | fred97 |
1. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man [mm] p_1=0 [/mm] und [mm] p:=p_2 \ne [/mm] 0 und C>1 annehmen.
Wir gehen also aus von
(*) $||x||=C||x-p||$
2. Rechnungen werden einfacher, wenn man koordinatenfrei rechnet und beachtet:
[mm] ||z||^2=, [/mm] wobei <*,*> das übliche Skalarprodukt auf [mm] \IR^2 [/mm] ist.
3. Die folgenden Rechnungen gelten in jedem reellen Innenproduktraum und zeigen gleichzeitig, was der Mittelpunkt und der Radius des Kreises ist.
(*) [mm] \gdw [/mm]
[mm] 0=(C^2-1)||x||^2-2C^2+C^2||p||^2 \gdw
[/mm]
[mm] 0=||x||^2-\bruch{2C^2}{C^2-1}+\bruch{C^2}{C^2-1}||p||^2
[/mm]
An der letzten Gl. sieht man, was der Mittelpunkt $q$ des Kreises ist: [mm] $q:=\bruch{C^2}{C^2-1}*p$.
[/mm]
Damit bekommen wir:
(*) [mm] \gdw
[/mm]
[mm] 0=||x||^2-2+||q||^2+\bruch{C^2}{C^2-1}||p||^2-||q||^2 \gdw
[/mm]
[mm] ||x-q||^2=||q||^2-\bruch{C^2}{C^2-1}||p||^2.
[/mm]
Mit obiger Def. von $q$ sieht man nun, nach leichter Rechnung,
(*) [mm] \gdw $||x-q||=\bruch{C}{C^2-1}||p||$
[/mm]
FRED
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