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Zeigen Sie mit HilfeDefinition: Herleitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Di 25.11.2008
Autor: jojo1484

Aufgabe 1
Aufgabe 1:
Zeigen Sie mit Hilfe der allgemeinen Definition: [mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow\(0)} *\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm]

1. daß (1)' = 0 , (x)' = 1 und (x²)' = 2 x ist und
2. die Faktor- und Summenregel gilt.

Aufgabe 2
Aufgabe 2:
1. Benutzen Sie das Additionstheorem des Sinus [sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)]
um das Additionstheorem für den Kosinus: cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y)
zu beweisen. (Tipp: cos(x) = sin(x + [mm] \bruch{\pi}{2})) [/mm]
2. Leiten Sie das Additionstheorem des Tangens: tan(x + [mm] y)=\bruch{tan(x) + tan(y)}{1- tan(x)·tan(y)} [/mm] aus den Additionstheoremen
für den Sinus und Kosinus ab.
3. Zeigen Sie, daß
sin(x) + sin(y) = 2 · [mm] sin(\bruch{x+y}{2} [/mm] ) · [mm] cos(\bruch{x-y}{2}) [/mm]
für alle x, y [mm] \varepsilon \IR [/mm] gilt.
(Tipp: x = [mm] \bruch{x+y}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x-y}{2} [/mm] und eine ähnliche Gleichung gilt für y.)
4. Zeigen Sie, daß cosh²(x) − sinh²(x) = 1 für alle x [mm] \varepsilon \IR [/mm]  gilt.

Lösung:
(1) = [mm] \bruch{1+0-1)}{0} [/mm]
(1)' = [mm] \bruch{0+0+0}{0} [/mm]
(1)' = 0
ist das richtig??

(x) = [mm] \bruch{(x+0)-x}{0} [/mm]
(x)' = [mm] \bruch{(1)-1}{0} [/mm]
--> Wäre ja schon wieder 0 oder nicht??

was mache ich falsch? ich kann doch gar nicht durch 0 Teilen oder?

Bei Aufgabe 2 habe ich überhaupts keinen Plan, wie ich an diese Herleitungen hingehen muss.

Hoffe es kann mir jemand Helfen. Vielen Dank.



Bitte um Hilfe. Danke

        
Bezug
Zeigen Sie mit HilfeDefinition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Di 25.11.2008
Autor: MathePower

Hallo jojo1484,

> Aufgabe 1:
>  Zeigen Sie mit Hilfe der allgemeinen Definition:
> [mm]f'(x)=\limes_{h\rightarrow\(0)} *\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
>  
> 1. daß (1)' = 0 , (x)' = 1 und (x²)' = 2 x ist und
>  2. die Faktor- und Summenregel gilt.
>  Aufgabe 2:
>  1. Benutzen Sie das Additionstheorem des Sinus [sin(x + y)
> = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)]
>  um das Additionstheorem für den Kosinus: cos(x+ y) =
> cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y)
>  zu beweisen. (Tipp: cos(x) = sin(x + [mm]\bruch{\pi}{2}))[/mm]
>  2. Leiten Sie das Additionstheorem des Tangens: tan(x +
> [mm]y)=\bruch{tan(x) + tan(y)}{1- tan(x)·tan(y)}[/mm] aus den
> Additionstheoremen
>  für den Sinus und Kosinus ab.
>  3. Zeigen Sie, daß
> sin(x) + sin(y) = 2 · [mm]sin(\bruch{x+y}{2}[/mm] ) ·
> [mm]cos(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> für alle x, y [mm]\varepsilon \IR[/mm] gilt.
>  (Tipp: x = [mm]\bruch{x+y}{2}[/mm] + [mm]\bruch{x-y}{2}[/mm] und eine
> ähnliche Gleichung gilt für y.)
>  4. Zeigen Sie, daß cosh²(x) − sinh²(x) = 1 für alle
> x [mm]\varepsilon \IR[/mm]  gilt.


>  Lösung:
> (1) = [mm]\bruch{1+0-1)}{0}[/mm]
>  (1)' = [mm]\bruch{0+0+0}{0}[/mm]
>  (1)' = 0
>  ist das richtig??

  

[ok]


> (x) = [mm]\bruch{(x+0)-x}{0}[/mm]
>  (x)' = [mm]\bruch{(1)-1}{0}[/mm]
>  --> Wäre ja schon wieder 0 oder nicht??

>
> was mache ich falsch? ich kann doch gar nicht durch 0
> Teilen oder?


Laut Definiton steht da:

[mm]\limes_{h\rightarrow 0}{\bruch{\left(x+h\right)-x}{h}}[/mm]


>  
> Bei Aufgabe 2 habe ich überhaupts keinen Plan, wie ich an
> diese Herleitungen hingehen muss.


Bei den Aufgabenteilen 1 und 3 stehen ja schon die Tipps da.

Bei Aufgabenteil 2 verwendest Du die Definition des Tangens.

Bei Aufgabenteil 4 werden die Definition von [mm]\sinh\left(x\right)[/mm]  
und von [mm]\cosh\left(x\right)[/mm] verwendet.


>  
> Hoffe es kann mir jemand Helfen. Vielen Dank.
>  
>
>
> Bitte um Hilfe. Danke


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Zeigen Sie mit HilfeDefinition: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 Di 25.11.2008
Autor: jojo1484

Zu Aufgabe 1:

Definition: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}{\bruch{\left(x+h\right)-x}{h}} [/mm]

dann gibt aber (x) doch [mm] \bruch{(x^{1}+0)-x^{1}}{0} [/mm] oder nicht?

also ergibt sich (x)'= [mm] \bruch{(1+0)-1)}{0} [/mm]
--> [mm] (x)'=\bruch{0}{0} [/mm] , weil 1-1 ja 0 ist

und bei (x²):

(x²) = [mm] \bruch{(x^{2}+0)-x^{2}}{0} [/mm]
(x²)' = [mm] \bruch{(2x^{1}+0)-2x^{1}}{0} [/mm]

hier ist es wieder das selbe, 2x - 2x = 0 oder nicht?

irgendwie blick ich es nicht, steh voll auf der leitung.

bitte um erklärung.

vielen Dank

Bezug
                        
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Zeigen Sie mit HilfeDefinition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Di 25.11.2008
Autor: jojo1484

Sorry hatte es nicht als Frage gesendet:

Zu Aufgabe 1:

Definition: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}{\bruch{\left(x+h\right)-x}{h}} [/mm]

dann gibt aber (x) doch [mm] \bruch{(x^{1}+0)-x^{1}}{0} [/mm] oder nicht?

also ergibt sich (x)'= [mm] \bruch{(1+0)-1)}{0} [/mm]
--> [mm] (x)'=\bruch{0}{0} [/mm] , weil 1-1 ja 0 ist

und bei (x²):

(x²) = [mm] \bruch{(x^{2}+0)-x^{2}}{0} [/mm]
(x²)' = [mm] \bruch{(2x^{1}+0)-2x^{1}}{0} [/mm]

hier ist es wieder das selbe, 2x - 2x = 0 oder nicht?

irgendwie blick ich es nicht, steh voll auf der leitung.

bitte um erklärung.

vielen Dank

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Zeigen Sie mit HilfeDefinition: erst zusammenfassen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 Di 25.11.2008
Autor: Loddar

Hallo jojo!


Es sollte doch bekannt sein, dass die Division durch Null nicht erlaubt ist. Und bei [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] handelt es sich um einen unbestimmten Ausdruck.

Von daher musst Du den Bruch Deines Differenzialquotienten immer erst zusammenfassen, bevor Du die Grenzwertbetrachtung [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ durchführst.

$$(x)' \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{(x+h)-x}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{h}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}1 [/mm] \ = \ 1$$

Gruß
Loddar


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Zeigen Sie mit HilfeDefinition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Di 25.11.2008
Autor: jojo1484

müsste dann bei (x²)' nicht das selbe gelten?
da 2x-2x ja 0x sind,

bleibt doch wieder [mm] \limes_{n\rightarrow0}\bruch{h}{h} [/mm]

was wiederum 1 wäre. (oder?) und warum soll das ergebnis nun 2x sein??

sorry dass ich so schwer von begriff bin.

Vielen Dank für Eure Hilfe.

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Zeigen Sie mit HilfeDefinition: für x²
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Di 25.11.2008
Autor: Loddar

Hallo jojo!


Nein, das wäre ja langweilig, wenn es immer dasselbe wäre ... ;-)

[mm] $$\left( \ x^2 \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{(x+h)^2-x^2}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{x^2+2x*h+h^2-x^2}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{2x*h+h^2}{h} [/mm] \ = \ ...$$
Nun im Zähler $h_$ ausklammern und kürzen.


Gruß
Loddar


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