Zeige, dass b ein Skalarpodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:41 Sa 25.11.2006 | | Autor: | bounded |
| Aufgabe | Sei A eine reelle n×n-Matrix und [mm] b_{A} [/mm] die zugehörige Bilinearform. Zeige, dass [mm] b_{A} [/mm] genau dann Skalarprodukt ist, wenn es eine Matrix S∈GL(n,ℝ) mit
A= ^{t}S⋅S
gibt.
Hier habe ich die Aufgabe mal als Bilddatei hochgeladen, so dass man die Aufgabe auch vernünftig lesen kann:
http://www.pic-upload.de/view_24.11.06/nm7miq.JPG.html |
Hallo,
mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht, falls jemand eine Lösung für mich hat, würde mir das sehr viel bringen:
Vielen Dank im Vorraus, Dycke
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/98172,0.html?sid=02d498cda9e8bccf97a42eadf2aa0260
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> Sei A eine reelle n×n-Matrix und [mm]b_{A}[/mm] die zugehörige
> Bilinearform. Zeige, dass [mm]b_{A}[/mm] genau dann Skalarprodukt
> ist, wenn es eine Matrix S∈GL(n,ℝ) mit
> A= ^{t}S⋅S
> gibt.
>
> mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht, falls jemand
> eine Lösung für mich hat, würde mir das sehr viel bringen:
Hallo,
die Rückrichtung ist recht einfach.
Hier ist ja nur zu zeigen, daß x^tAy=y^tAx gilt, was man durch Spiel mit den Tansponierten bekommt, und daß
für x [mm] \not=0 [/mm] x^tAx>0 ist.
Für "==>" ist mir noch nichts eingefallen.
In welchem "Umfeld" taucht die Aufgabe auf, was ist gerade dran?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Mi 29.11.2006 | | Autor: | bounded |
hi angela, vielen danke erstmal.
bisher sieht meine lösung so aus:
aufgabe:
Sei A eine reelle n [mm] \times [/mm] n-Matrix und [mm] b_{A} [/mm] die zugehörige Bilinearform. Zeige, dass [mm] b_{A} [/mm] genau dann Skalarprodukt ist, wenn es eine Matrix S∈GL(n,ℝ) mit
A= ^{t}S⋅S
gibt.
Antwort:
Rückrichtung:
Zu zeigen: ∃ S ,sodass A= ^{t}S⋅S
[mm] b_{A} [/mm] symmetrisch:
[mm] x^{t}Ay=y^{t}Ax
[/mm]
[mm] b_{A} [/mm] positiv definit:
x≠0
[mm] x^{t}Ax>0
[/mm]
Hinrichtung: ???
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was meinst du, passt das so bisher? hast du noch eine idee zur hinrichtung?
ich befinde mich in der einer "Lineare Algebra 2" Vorlesung und wir hatten schon Skalare und dann Dualräume ; orthogonalität und zuletzt selbstadjungierte Endomorphismen.
aber ich bin nicht auf dem Laufenden, ich muss mich in den Winterferien auf den aktuellen Stand bringen.
unser tutor hat uns als tipps gegeben, wo mit ich allerdings nicht sehr viel anfangen kann:
A symmetrisch => ∃ T∈GL(n,ℝ) und irgendwie kann man da auch mit orthogonalität was machen.
außerdem:
[mm] T^{-1} [/mm] A T = [mm] \pmat{ lamda_1 & 0 \\ 0 & Lamda_n }
[/mm]
und das stichwort selbstadjungierte endomorphismen.
Viele Grüße und Danke nochmal, Dycke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Do 30.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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