Zeige, dass Skalarprodukt < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Di 07.01.2014 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Es ist [mm] V=(\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} }, a_{1},a_{2},a_{3} \in \IR [/mm] der Vektorraum der reellen, symmetrischen 2x2 Matrizen.
Zeige, dass die Abbildung <,> _{2} : V x [mm] V\to\IR
[/mm]
ein Skalarprodukt von V ist.
[mm] <(\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} },\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} })>_{2}:=a_{1}b_{1}-2a_{2}b_{3}-2a_{3}b_{2}+3a_{2}b_{2}+2a_{3}b_{3} [/mm] |
Hallo,
bei obiger Aufgabe müssten eigentlich "nur" die Kriterien für das Skalarprodukt überprüft werden. Das macht bis auf die positive Definitheit auch keine Probleme.
Es ergibt sich folgende Gleichung:
[mm] a_{1}a_{1}-2a_{2}a_{3}-2a_{3}a_{2}+3a_{2}a_{2}+2a_{3}a_{3}
[/mm]
Dort muss ich nun zeigen, dass sie größer oder gleich null ist.
Allerdings habe ich absolut keine Ahnung, wie.
Ich habe die letzten beiden Terme bereits zum Quadrat zusammengefasst, binomische Formeln ausprobiert... nichts hat zum Erfolg geführt.
Wer kann mir hier weiterhelfen?
Viele Grüße
poeddl
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Hallo poeddl,
da geht noch was...
> Es ist [mm]V=(\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} }, a_{1},a_{2},a_{3} \in \IR[/mm]
> der Vektorraum der reellen, symmetrischen 2x2 Matrizen.
>
> Zeige, dass die Abbildung <,> _{2} : V x [mm]V\to\IR[/mm]
> ein Skalarprodukt von V ist.
>
>
> [mm]<(\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} },\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} })>_{2}:=a_{1}b_{1}-2a_{2}b_{3}-2a_{3}b_{2}+3a_{2}b_{2}+2a_{3}b_{3}[/mm]
>
>
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> Hallo,
> bei obiger Aufgabe müssten eigentlich "nur" die Kriterien
> für das Skalarprodukt überprüft werden. Das macht bis
> auf die positive Definitheit auch keine Probleme.
>
> Es ergibt sich folgende Gleichung:
>
> [mm]a_{1}a_{1}-2a_{2}a_{3}-2a_{3}a_{2}+3a_{2}a_{2}+2a_{3}a_{3}[/mm]
>
> Dort muss ich nun zeigen, dass sie größer oder gleich
> null ist.
> Allerdings habe ich absolut keine Ahnung, wie.
> Ich habe die letzten beiden Terme bereits zum Quadrat
> zusammengefasst, binomische Formeln ausprobiert... nichts
> hat zum Erfolg geführt.
>
> Wer kann mir hier weiterhelfen?
Ich hab nicht nachgerechnet, wie Du da hingekommen bist, aber weiter gehts so:
[mm] a_{1}a_{1}-2a_{2}a_{3}-2a_{3}a_{2}+3a_{2}a_{2}+2a_{3}a_{3}=a_1^2+a_2^2-2a_2a_3+a_3^2+a_3^2-2a_3a_2+a_2^2+a_2^2=a_1^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_2)^2+a_2^2
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Di 07.01.2014 | | Autor: | poeddl |
Super, vielen Dank!
Ist mir ein Rätsel, wie du das so schnell gesehen hast, wäre ich nie drauf gekommen, bzw. bin ich ja auch nicht...
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