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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 06:29 Di 09.05.2006 | | Autor: | dresdendolls |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Die Menge F2 [mm] \{0,1 \} [/mm] mit den beiden durch 0 + 0 := 1 + 1 := 0, 0 + 1 := 1 + 0 := 1 und 0 * 0 := 1 * 0 := 0 * 1 := 0, 1 * 1 := 1 definierten Verknüpfungen ist ein Körper.
b) Durch R = (0, 1) ist eine Relation < auf F2 definiert: 0 < 1. Ist (F2, <) eine total geordnete Menge? Ist (F2, +, *) mit der Relation < ein geordneter Körper?
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hey ihr alle,
mein erstes Problem ist, dass ich gar nicht genau weiß, was mit "Verknüpfungen" gemeint ist..
Die Definition eines Körpers besagt, dass
1. (F2, +) eine abelsche Gruppe ist (neutrales Element 0)
2.1. Für alle a,b,c E F2 gilt: a * (b * c) = (a * b) * c (Assoziativgesetz)
2.2. Für alle a,b E F2 gilt: a * b = b * a
2.3. Es existiert ein Element 1 E F2 mit 1 ungleich 0 und 1 * a = a für alle a E F2
2.4. Für alle a E F2 mit a ungleich 0 existiert ein b E F2 mit a * b = 1
3. Für alle a,b,c E F2 gilt: a * (b + c) = ab + ac
Das ist mir alles eigentlich klar, nur weiß ich nicht genau, wie ich es auf die Menge anwenden soll..einfach jeden Punkt durchgehen und anhand der Menge zeigen? Weiß nur nicht ganz, wie ich die Verknüpfungen einbringen soll..
Was mir nicht klar ist, ist warum 1 + 1 := 0, also 1 + 1 als 0 definiert ist.
Wäre toll, wenn ihr mir helfen würdet!
Liebe Grüße
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Hallo,
also zeigen, dass dies ein Körper ist, ist relativ einfach: Nachrechnen  , d.h. Du mußt einfach nur die einzelnen Dinge Punkt für Punkt durchgehen. Da [mm] $\IF_2$ [/mm] nur zwei Elemente hat, kann man das sogar wirklich durch nachrechnen.
Warum gerade $1+1:=0$ definiert wurde, ist eigentlich mehr ein Zwang als eine Wahl. Du kannst ja mal versuchen, einen Körper mit genau 2 Elementen zu bauen. Da ergeben sich dann bestimmte Dinge zwangsläufig. Das neutrale Element bezüglich der Addition nennst Du natürlich sinnvoller Weise $0$ und bezüglich der Multiplikation $1$ (beachte die neutralen Elemente müssen verschieden sein, also es kann nicht $0=1$ sein). Dann stellst Du einfach eine Additionstabelle und eine Multiplikationstabelle auf, in der Du die Addition und Multiplikation definierst. So in etwa:
[mm] $\begin{array}{c||c|c} + & 0 & 1 \\\hline\hline
0 & ? & ? \\\hline
1 & ? & ? \\\hline\end{array}$
[/mm]
Dabei sind da einige Dinge zwingend, da zum Beispiel $0 + a = a$ und es zu jedem Element $a$ ein Inverses bzgl. der Addition geben muss (beachte das inverse Element $-a$ kann identisch zu $a$ sein). Entsprechend kannst Du das auch für die Multiplikation machen und dann kommst Du genau auf die Definition.
Zum Aufgabenteil b) hast Du selber garnichts geschrieben. Wenn Du Teil a) fertig und zu b) Dir was überlegt hast, kannst Du hier dazu ja noch eine Frage stellen.
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Gruß
Matthias
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