Zeige: Gruppen, unendlich < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Di 20.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Die Gruppe G = [mm] GL_{2}(\IR) [/mm] besteht aus allen invertierbaren 2x2 Matrizen mit reellen Einträgen.
a) Seien
S = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] ; T = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
reelle Matrizen.
Zeige: S, T [mm] \in [/mm] G. Bestimme weiters ord (S) und ord (T).
b) Zeige: |<S,T>| = [mm] \infty [/mm] |
okay Aufgabe a habe ich gelöst mit
det(s) = 1, det(T) = 1 also beide element G.
und ordnung ist 4 bzw 6
stimmt das bis hierher????
Wenn ja wie löse ich aufgabe b, wie zeige ich das, ich hab mir überlegt dass in der gruppe ja dann alle möglichen Kombinationen von S und T sein müssen, aber wie zeige ich dass das unendlich ist????
danke lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Di 20.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die Gruppe G = [mm]GL_{2}(\IR)[/mm] besteht aus allen invertierbaren
> 2x2 Matrizen mit reellen Einträgen.
> a) Seien
> S = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm] ; T = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> reelle Matrizen.
> Zeige: S, T [mm]\in[/mm] G. Bestimme weiters ord (S) und ord (T).
> b) Zeige: |<S,T>| = [mm]\infty[/mm]
> okay Aufgabe a habe ich gelöst mit
>
> det(s) = 1, det(T) = 1 also beide element G.
> und ordnung ist 4 bzw 6
>
> stimmt das bis hierher????
Ja
>
> Wenn ja wie löse ich aufgabe b, wie zeige ich das, ich hab
> mir überlegt dass in der gruppe ja dann alle möglichen
> Kombinationen von S und T sein müssen, aber wie zeige ich
> dass das unendlich ist????
Zeige induktiv: [mm] $(ST)^n =(-1)^n \pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 }$ [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
FRED
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>
> danke lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Di 20.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
okay die basis (n=1)zu zeigen ist klar.
aber der Schritt
ich weiß induktionsbeweis solte ich eigentlich können, aber ich hab ihn nie so wirklich kapiert
okay ich will zeigen dass aus eingesetzt n, dann n +1 folgt
immer wenns um beweise geht steh ich total auf der leitung,
hilfe!!
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Di 20.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> okay die basis (n=1)zu zeigen ist klar.
> aber der Schritt
> ich weiß induktionsbeweis solte ich eigentlich können,
> aber ich hab ihn nie so wirklich kapiert
>
> okay ich will zeigen dass aus eingesetzt n, dann n +1
> folgt
> immer wenns um beweise geht steh ich total auf der
> leitung,
Induktionsvor.: sei n [mm] \in \IN [/mm] und (*) $ [mm] (ST)^n =(-1)^n \pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 } [/mm] $
Jetzt zeige mal mithilfe von (*), dass
$ [mm] (ST)^{n+1} =(-1)^{n+1} \pmat{ 1 & n+1 \\ 0 & 1 } [/mm] $
FRED
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> hilfe!!
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> danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 20.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
okay ich habe jetzt (keine Ahnung ob das stimmt)
[mm] (ST)^{n+1} [/mm] = [mm] (ST)^{n} (ST)^{1} =(-1)^{n}*\pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 }*(-1)^{1}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*\pmat{ 1 & n+1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
ist das jetzt der induktionsbeweis??
danke lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Di 20.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> okay ich habe jetzt (keine Ahnung ob das stimmt)
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> [mm](ST)^{n+1}[/mm] = [mm](ST)^{n} (ST)^{1} =(-1)^{n}*\pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 }*(-1)^{1}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
> = [mm](-1)^{n+1}*\pmat{ 1 & n+1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> ist das jetzt der induktionsbeweis??
Ja, aber nur wenn Du die beiden Matrizen [mm] \pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] wirklich multipliziert hast. Oder hast Du nur geschaut, was rauskommen soll ?
FRED
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>
> danke lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Di 20.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
nein ich hab sie multipliziert und dann ist das rausgekommen
danke für die hilfe nochmal!
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