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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Di 06.11.2007 | | Autor: | DaPhil |
| Aufgabe | Zeige, dass die folgende Abbildung konstant ist:
F(t) = [mm] (\integral_{0}^{t}{e^{-x^2} dx})^2 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{e^{-t^2(x^2+1)}}{x^2+1} dx} [/mm] |
Also ich muss nun F(t) nach t ableiten und zeigen dass das =0 ist. Ich habe aber große Probleme damit. Der hintere Teil lässt sich ja leicht ableiten, hier kann ich die Ableitung in das Integrtal ziehen, wie aber muss ich den ersten Teil ableiten?
Ich weiß echt überhaupt nicht mehr weiter...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Di 06.11.2007 | | Autor: | DaPhil |
Eine Frage dazu: G' steht in deiner Kettenregel für d/dt, müsste hier nicht aber d/dx stehen um aus dem G'(t) ein g(t) zu machen?
Mit dem 2. Term wollte ich wie folgt verfahren:
[mm] \bruch{d}{dt} \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2 + 1} \* exp[-t^2 \* (x^2 + 1)] dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{d}{dt} \bruch{1}{x^2 + 1} \* exp[-t^2 \* (x^2 + 1)] dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{(-2 \* t) \* exp[-t^2 \* (x^2 + 1)] dx} [/mm] = -2 [mm] \* exp[-t^2] \* \integral_{0}^{1}{t \* exp[-t^2 \* x^2] dx}
[/mm]
Ich dachte jetzt würde sich alles wegheben, ist aber noch nicht so. Muss ich hier vielleicht richtig substituieren, damit ich die Grenze und das Integral wie im ersten Term hinbiege? Und natürlich schonmal vielen Dank für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Di 06.11.2007 | | Autor: | DaPhil |
Also ich kriegs echt nicht hin, ich weiß auch nicht welche Substitution mir da helfen könnte. Hat da jemand eine Idee? Oder ist Substitution doch der falsche Ansatz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Di 06.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Eine Frage dazu: G' steht in deiner Kettenregel für d/dt,
> müsste hier nicht aber d/dx stehen um aus dem G'(t) ein
> g(t) zu machen?
Aber G(t) ist eine Funktion von t, und x ist die Integrationsvariable. Du hast:
[mm]G(t) = \integral_a^t g(x) dx[/mm] für irgendein a (entspricht der Integrationskonstanten).
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt:
[mm]G'(t) = g(t)[/mm]
>
> Mit dem 2. Term wollte ich wie folgt verfahren:
>
> [mm]\bruch{d}{dt} \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2 + 1} \* exp[-t^2 \* (x^2 + 1)] dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{d}{dt} \bruch{1}{x^2 + 1} \* exp[-t^2 \* (x^2 + 1)] dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{(-2 \* t) \* exp[-t^2 \* (x^2 + 1)] dx}[/mm]
> = -2 [mm]\* exp[-t^2] \* \integral_{0}^{1}{t \* exp[-t^2 \* x^2] dx}[/mm]
>
> Ich dachte jetzt würde sich alles wegheben, ist aber noch
> nicht so. Muss ich hier vielleicht richtig substituieren,
Ja, probier mal die Substitution [mm]y=t*x[/mm], damit das zweite Integral auch von 0 bis t geht!
Viele Grüße
Rainer
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Kettenregel