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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Do 05.05.2005 | | Autor: | Bonnie |
Hallo ich komme hier irgendwie nicht weiter...
bitte um eure Hilfe:
Die Aufgage lautet: Sei n [mm] \in \IN, [/mm] n > 2 . Zeige, dass
[mm] \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{3}+ [/mm] .......+ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] keine ganze Zahl ist.
Ich hab es mit Induktion versucht , komme da aber leider nicht weit mit.
Danke schon mal im vorraus
Bonnie
Ich habe diese Frage in keinem andren Forum gestellt
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Hallo Bonnie
in "Elemente der Zahlentheorie" von I.M. Winogradow ( Lösungen zu Kapitel II )
wird das
wie folgt beantwortet: ( die Summe sei $S$ )
Es sei $k$ die größte Zahl mit $2 [mm] \le [/mm] n$ und $P$ das Produkt aller ungeraden Zahlen
[mm] $\le [/mm] n$ . Die Zahl [mm] $2^{k-1}*P*S$ [/mm] ist dann eine Summe, deren sämtliche Summanden,
außer [mm] $2^{k-1}*P*\frac{1}{2^k}$, [/mm] ganze Zahlen sind.
Gruß F.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Bonnie |
Danke erstmal für die schnelle Antwort.
Aber wiso betrachtet man dieses Produkt und was ist k´.
Ich kann diese Lösung leider nicht ganz nachvollziehen.
vielleicht kannst du die noch ergänzen ???
oder hat jemand anderes evtl eine andere Lösung.
vielen Dank Bonnie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Bonnie
Bei Friedrich Lahers Antwort ist nirgends ein k' vorhanden, das ist lediglich ein Komma im Satz.
Dann ist noch ein kleiner Fehler vorhanden:
Es sollte natürlich nicht $2 [mm] \le [/mm] n$ heissen, sondern [mm] $2^k \le [/mm] n$
Mach das doch eifach mal mit einem konkreteen Beispiel, sagen wir mit $n=9$
Dann gibt es dieses:
[mm] $S=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{9}$
[/mm]
$P=3*5*7*9$
$k=3$
Das gebildete Produkt ist also dieses:
$4* [mm] \, [/mm] 3*5*7*9* [mm] \,(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{9})$
[/mm]
Wenn du jetzt das Produkt vor der Klammer hineinmultiplizierst, dann stellst du unschwer fest, dass du überall so weit kürzen kannst, dass eine ganze Zahl entsteht, ausser bei
[mm] $4*3*5*7*9*\bruch{1}{8}=\bruch{3*5*7*9}{2}$
[/mm]
Das ganze Produkt kann also nicht ganzzahlig sein! Weil aber alle Faktoren vor der Klammer ganzzahlig sind, muss diese Nichtganzzahligkeit wohl von der Summe in der Klammer herrühren! 
Ist es jetzt einigermassen verständlich?
Mit lieben Grüssen
Paul
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