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| Aufgabe | Es seien n und k zwei natürliche Zahlen. Zeigen Sie, daß [mm] \wurzel[k]{n} [/mm] entweder eine natürliche oder eine irrationale Zahl ist.
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Hallihallo,
ich grübel schon ne ganze weile über dieser Aufgabe. Dass das so seien muss macht ja echt Sinn und ist gedanklich nachvollziehbar. Aber wie kann man das formal korrekt zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm an [mm] \wurzel[k]{n}=p/q [/mm] p/q gekürzt. führ das zum Widerspruch. (falls n¯ne [mm] p^k [/mm] und q=1)
Gruss leduart
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also sei [mm] \bruch{p}{q} [/mm] teilerfremd. und dann stellt man die gleichung [mm] \wurzel[k]{n} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q} [/mm] auf. dann ist [mm] p^{k} [/mm] = n * [mm] q^{k}. [/mm] Also ist [mm] p^{k} [/mm] = n für q = 1 und damit eine natürliche Zahl oder wenn [mm] q\not=1 [/mm] sind p und q doch nicht teilerfremd und damit ein widerspruch oder wie muss das aussehen?
Wie zeigt man denn das p und q dann doch nicht teilerfremd sind?
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> also sei [mm]\bruch{p}{q}[/mm] teilerfremd. und dann stellt man die
> gleichung [mm]\wurzel[k]{n}[/mm] = [mm]\bruch{p}{q}[/mm] auf. dann ist [mm]p^{k}[/mm]
> = n * [mm][mm] q^{k}.
[/mm]
Hallo,
hieraus folgt doch, daß [mm] p^k [/mm] von q geteilt wird.
Wegen der Teilerfremdheit v. p und q gibt es [mm] x,y\in \IZ [/mm] mit 1=xp+yq.
Hiermit müßte man dann weiterkommen.
Gruß v. Angela
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