Zahlenpaare einer Folge ges. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:28 Mo 05.12.2005 | | Autor: | spit.fire |
Hi!
Ich habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiss, wie ich vorgehen kann/soll.
Für [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] > 0 sei [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \wurzel{4n^{4} - 2n² + 5} -(\alpha [/mm] n² + [mm] \beta)
[/mm]
für alle n element der natürlichen Zahlen.
Bestimmen sie alle Zahlenpaare [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] für die die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] konvergiert.
Wäre klasse, wenn ich dafür einen (ausführlichen) Anstoß bekommen könnte.
Ich steig bei dem Stoff nicht durch, aber leider ist jedes Übungsblatt abgabepflichtig.
wie ich gerade lese, verstößt es gegen die Regeln, eine Aufgabe ohne Ansätze hier reinzustellen.. aber selber kann ich mir net helfen :(
wenn ihr es löschen müsst, dann tuts. wäre aber dennoch dankbar, wenn das nicht passiert.
MfG
Michi
p.s.:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo spit.fire!
Na, da werden wir doch lieber einen Ansatz liefern als diese Frage zu löschen  ...
Damit die Reihe konvergiert, ist es ein notwendiges Kriterium, dass die aufzusummierende Folge eine Nullfolge ist.
Du musst also [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] derart bestimmen, dass [mm] $\left< a_n \right>$ [/mm] den Grenzwert $0_$ hat.
Dafür solltest Du den Ausdruck der Folge mit dem Term [mm] $\wurzel{4n^2-2n^2+5} [/mm] \ [mm] \red{+} \left(\alpha*n^2+\beta\right)$ [/mm] erweitern.
Anschließend im Nenner [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern.
Nun solltest Du dann bereits den Wert für [mm] $\alpha$ [/mm] erkennen können, damit sich die höchste Potenz von $n_$ bereits eliminiert und Du mit [mm] $n^2$ [/mm] kürzen kannst.
Ähnlich erhältst Du auch [mm] $\beta$, [/mm] damit im Zähler der Grenzwert $0_$ entsteht.
Damit ist aber lediglich das notwendige Kriterium für die Reihenkonvergenz erfüllt. Streng genommen müsste dann noch die Reihenkonvergenz mit einem der Reihenkonvergenz-Kriterien noch gezeigt werden.
Gruß
Loddar
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