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| Aufgabe | Man hat mehrere Bilder gegeben, in denen Bereiche markiert sind, für die folgende Ungleichung gelten so:
|z-4i|<2 |
Hallo.
Wie oben beschrieben soll man Bilder der Ungleichung zuordnen.
Wie geht man am Besten an so eine Ungleichung ran?
z=a+ib
|a+ib-4i|<2
|a+i(b-4)|<2
[mm] |z_{1}|=\wurzel{(a+i(b-4))*(a-i(b-4))}=\wurzel{a^2+b^2+16}<2 [/mm]
Das heißt was in der Wurzel steht muss kleiner als 4 sein.
Also muss gelten [mm] a^2+b^2 [/mm] < -14.
Ist das so richtig?
Dann wären aber [mm] a^2+b^2 [/mm] auch imaginäre Zahlen.....
Irgendiwe gibt das keinen Sinn.
Und wieder bitte ich euch um Hilfe.
Grüße
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Huhu,
am schnellsten kann man solche Bilder zuordnen, wenn man anschaulich weiß, was so eine Ungleichung bedeutet.
Was ist denn anschaulich der Betrag der Differenz zweiter Zahlen?
Also was stellt |a-b| für zwei beliebige Zahlen a und b dar anschaulich?
Dabei ist es egal ob es relle, komplexe oder höherdimensionale "Zahlen" sind 
MFG,
Gono.
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Hallo.
Ich würde ja sagen, dass der Betrag der Abstand von 0 zur Differenz von a-b(die Strecke zwischen a und b) ist.
So richtig?
Also der Abstand von 0 zur Differenz von z-4i.
Und dieser Abstand muss kleiner als 2 sein.
Problem hierbei ist jedoch, dass z nicht mehr auf einer Geraden liegt, sondern in einer Ebene.
Ich kanns mir gerade echt nicht bildlich vorstellen. Man das belastet mich.....
Gruß
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Hallo M.,
> Hallo.
>
> Ich würde ja sagen, dass der Betrag der Abstand von 0 zur
> Differenz von a-b(die Strecke zwischen a und b) ist.
>
> So richtig?
Hmm, es bezeichnet für [mm]z,w\in\IC, r\in\IR^+_0[/mm]
[mm]|z-w|=r[/mm] die Menge aller [mm]z\in\IC[/mm], die von w einen Abstand von r haben. Das ist geometrisch der Rand des Kreises mit MP w und Radius r
[mm]|z-w|>r[/mm] entsprechend die Menge aller [mm]z\in\IC[/mm] , die von w einen Abstand größer als r haben, das ist das Äußere des o.e. Kreises (ohne Rand)
[mm]|z-w|
Für [mm]\le[/mm] und [mm]\ge[/mm] dann entsprechend mit Rand
Was haben wir hier also vorliegen?
>
> Also der Abstand von 0 zur Differenz von z-4i.
> Und dieser Abstand muss kleiner als 2 sein.
>
> Problem hierbei ist jedoch, dass z nicht mehr auf einer
> Geraden liegt, sondern in einer Ebene.
>
> Ich kanns mir gerade echt nicht bildlich vorstellen. Man
> das belastet mich.....
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Hallo.
Auch wenn die Aufgaben schon abgegeben worden sind, stört mich diese Teilaufgabe etwas, da ich einfach mit dem Betragsbegriff irgendwie nicht klar komme (in der Raumvorstellung).
Ich versuche mein Problem mal zu erklären:
In der Schule haben wir gelernt, dass der Abstand von a zu b, wobei a<b und a,b [mm] \in \IN [/mm] gilt, ausgedrückt werden kann durch b-a.
b-a=c -> a+b=c usw.
Bei -a>-b würde bspw gelten -b-(-a) -> Abstand von a zu b.
Weiterhin haben wir gelernt, dass der Betrag |a| ausdrückt, wie weit a von 0 entfernt ist und das |a|=a für alle [mm] a\ge0 [/mm] und |a|=-a für alle [mm] a\le0. [/mm]
Ich bin bis jetzt davon ausgegangen, dass |b-a| eben diese Grundlagen zusammenfügt.
b-a würde somit dem Abstand zwischen zwei Teilchen entsprechen. Eben b und a. Und das der Betrag dieses Abstandes, als Abstand zu 0 angesehen wird.
Sollte dieser Abstand nun [mm] \le \ge [/mm] oder = x sein, so hätte ich daraus geschlossen, dass der Betrag eines Abstandes zweier Teilchen eben [mm] \le \ge [/mm] oder = x sein soll.
Und genau dies scheint ja nicht der Fall zu sein.
Vielleicht könnt ihr mir ja auf die Sprünge helfen.
Danke und Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Di 23.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo.
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> Auch wenn die Aufgaben schon abgegeben worden sind, stört
> mich diese Teilaufgabe etwas, da ich einfach mit dem
> Betragsbegriff irgendwie nicht klar komme (in der
> Raumvorstellung).
>
> Ich versuche mein Problem mal zu erklären:
>
> In der Schule haben wir gelernt, dass der Abstand von a zu
> b, wobei a<b und a,b [mm]\in \IN[/mm] gilt, ausgedrückt werden kann
> durch b-a.
Das ist mit der Voraussetzung a<b richtig. Ohne diese Voraussetzung kannst du allgemein |b-a| verwenden.
Bedenke auch: bei komplexen Zahlen gibt es keine "<"-Relation. Deshalb musst du für den Abstand zwangsläufig mit dem Betrag der Differenz rechnen.
Gruß Abakus
> b-a=c -> a+b=c usw.
>
> Bei -a>-b würde bspw gelten -b-(-a) -> Abstand von a zu b.
>
> Weiterhin haben wir gelernt, dass der Betrag |a|
> ausdrückt, wie weit a von 0 entfernt ist und das |a|=a
> für alle [mm]a\ge0[/mm] und |a|=-a für alle [mm]a\le0.[/mm]
>
> Ich bin bis jetzt davon ausgegangen, dass |b-a| eben diese
> Grundlagen zusammenfügt.
>
> b-a würde somit dem Abstand zwischen zwei Teilchen
> entsprechen. Eben b und a. Und das der Betrag dieses
> Abstandes, als Abstand zu 0 angesehen wird.
>
> Sollte dieser Abstand nun [mm]\le \ge[/mm] oder = x sein, so hätte
> ich daraus geschlossen, dass der Betrag eines Abstandes
> zweier Teilchen eben [mm]\le \ge[/mm] oder = x sein soll.
>
> Und genau dies scheint ja nicht der Fall zu sein.
>
> Vielleicht könnt ihr mir ja auf die Sprünge helfen.
>
> Danke und Grüße :)
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Hallo Masseltof!
Natürlich geht es auch rechnerisch (auch wenn man sich grob über die Richtung klar sein sollte, siehe andere Antwort).
> |a+ib-4i|<2
>
> |a+i(b-4)|<2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber dann rechnest Du falsch. Es gilt:
[mm] $$\wurzel{a^2+(b-4)^2} [/mm] \ < \ 2$$
Nun die Ungleichung quadrieren und es entsteht eine wunderbare Kreisgleichung.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo.
Blöder Fehler.
Nunja.
Kreisgleichung ist ja [mm] r^2=(a-x)^2+(b-y)^2 [/mm]
Quadriere ich [mm] \wurzel{a^2+(b-4)^2}<2 [/mm] so erhalte ich:
[mm] a^2+(b-4)^2<4
[/mm]
Oder auch [mm] (a-0)^2+(b-4)^2<4=r^2 [/mm]
Ist das richtig so?
Dann wäre ja mein Mittelpunkt bei M(-0/-4) und der Radius des Kreises wäre kleiner als 4.
Sehe ich das richtig?
Verzeiht mir Flüchtigkeitsfehler.
Ich bin gerade etwas gestresst.
Grüße und herzlichen Dank!
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Hallo nochmal,
> Hallo.
>
> Blöder Fehler.
> Nunja.
> Kreisgleichung ist ja [mm]r^2=(a-x)^2+(b-y)^2[/mm]
>
> Quadriere ich [mm]\wurzel{a^2+(b-4)^2}<2[/mm] so erhalte ich:
>
> [mm]a^2+(b-4)^2<4[/mm]
>
> Oder auch [mm](a-0)^2+(b-4)^2<4=r^2[/mm]
>
> Ist das richtig so?
Ja!
>
> Dann wäre ja mein Mittelpunkt bei M(-0/-4)
MP ist $(0,+4)$
> und der Radius
> des Kreises wäre kleiner als 4.
Es ist [mm] $4=r^2$
[/mm]
Nein, der Radius des Kreises ist =2, die Menge beschreibt alle Punkte innerhalb des Kreises, das Kreisinnere oder die Kreisscheibe ohne Rand.
Das passt auch zur geometr. Deutung in [mm] $\IC$ [/mm] (s. andere Antwort)
>
> Sehe ich das richtig?
Bis auf den (die) VZF
>
> Verzeiht mir Flüchtigkeitsfehler.
Na gut, weil du's bist
Gruß
schachuzius
> Ich bin gerade etwas gestresst.
>
> Grüße und herzlichen Dank!
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