Zahl rational oder irrational < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgende Dezimalzahl wird konstruiert:
0,1!2!3!4!.... (Die Zahl enthält als Nachkommastellen jeweils als aufeinanderfolgende Ziffern die Ziffern der Zahlen 1! (Fakultät), 2!, 3! usw..)
Gesucht wird ein Beweis für die Rationalität oder Irrationalität dieser Zahl.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Ich habe für diese Aufgabe bisher keinen Beweis für die irrationalität gefunden. Bisher habe ich Wiederspruchsbeweise versucht auf der Basis: Sei 0,1!2!.. rational, dann existiert ein Bruch p/q = p1p2..pn/q1q2..qm = 0,1!2!.. p1p2..pn Primzahlzerlegung von p (dito für q) und p und q teilerfremd (d.h. Bruch max. gekürzt). Ich habe jetzt ein Beweisverfahren versucht analog des bekannten Beweises für die Irrationalität von Wurzel(2). Bin aber hiermit nicht weitergekommen. Wer kennt einen Beweis zu diesem Problem
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Mi 02.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Folgende Dezimalzahl wird konstruiert:
> 0,1!2!3!4!.... (Die Zahl enthält als Nachkommastellen
> jeweils als aufeinanderfolgende Ziffern die Ziffern der
> Zahlen 1! (Fakultät), 2!, 3! usw..)
> Gesucht wird ein Beweis für die Rationalität oder
> Irrationalität dieser Zahl.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe für diese Aufgabe bisher keinen Beweis für die
> irrationalität gefunden.
Wie wäre es, wenn du versuchst zu zeigen, dass die Dezimalzahl nicht periodisch ist? Eine rationale Zahl hat entweder eine endliche oder eine unendliche, aber periodische Dezimalbruchdarstellung.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
Dein Tip war genau richtig. Habe dann viel zu kompliziert versucht die Nichtperiodizität der Dezimalzahl nachzuweisen - ohne Erfolg. Jetzt habe ich die Auflösung des Rätsels aus der bdw dort erhalten. Ergebnis:
Da die Zahlen n! mit wachsendem n immer mehr "0" am Ende stehen haben kann 0,1!2!3!... keine periodische Dezimalzahl sein - also: Die Zahl ist irrational. - Wie einfach - leider bin ich nicht auf die Lösung gekommen.
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