Zähldichte Bernoulli < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] (X_{i})_{i\inN} [/mm] eine unabhängige Familie von Bernoulli-Zufallsvariablen mit [mm] P(X_{i} [/mm] = 1) = p (0,1) für alle i [mm] \in [/mm] N. Sei [mm] T_{k} [/mm] die Wartezeit bis zum k-ten Auftreten der Eins, d. h. [mm] T_{k}:= [/mm] min {n [mm] \in [/mm] N : [mm] X_{1} [/mm] + ... + [mm] X_{n} [/mm] = k}. Man bestimme die Zähldichte von [mm] T_{k}. [/mm] |
Hallo!
Zunächst habe ich das Auftreten der Eins an der Stelle k mit t definiert.
Meine Frage: Die Zähldichte hier ist doch die Bernoulliverteillung f (k, t), oder sehe ich das falsch?
Für diese hätte ich mir überlegt, dass es ja k-1 Einser vor der Stelle t geben musste, also innerhalb der t-1 Stellen vorher. Deshalb gibt es [mm] \vektor{t-1 \\ k-1} [/mm] solche Elemente X, und für jedes gilt P(X) = ... ja und hier eben meine Frage. Gehe ich jetzt von n ursprünglichen aus, und es gilt P(X) = [mm] p^{k}(1-p)^{n-k}, [/mm] oder betrachte ich nur noch meine t Stellen und es gilt P(X) = [mm] p^{k-1}(1-p)^{t-1-(k-1)}? [/mm] Oder bin ich auf dem Holzweg?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Fr 21.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin dudelidei,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du stehst kurz vor dem Ziel: Der Binomialkoeffizient ist richtig, aber
$ [mm] p^{k-1}(1-p)^{t-k}$ [/mm] stimmt noch nicht.
Wenn ich dich recht verstehe, moechtest du [mm] $P(T_k=t)$ [/mm] bestimmen.
Berechne mal die Wsk fuer das Ereignis
[mm] $\underbrace{11\dots1}_{k-1}\underbrace{00\dots0}_{t-k}1$ [/mm] ...
vg Luis
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??? Sorry :
Ist P([mm]\underbrace{11\dots1}_{k-1}\underbrace{00\dots0}_{t-k}1[/mm])
nicht = [mm]p^{k-1}(1-p)^{t-k}[/mm] ?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> ??? Sorry :
>
> Ist
> P([mm]\underbrace{11\dots1}_{k-1}\underbrace{00\dots0}_{t-k}1[/mm])
>
> nicht = [mm]p^{k-1}(1-p)^{t-k}[/mm] ?
>
> Grüße
Nein, sondern [mm]p^{k-1}(1-p)^{t-k}p[/mm].
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Sa 22.11.2008 | | Autor: | dudelidei |
Oja da hat mein Hirn so spät nicht mehr funktioniert... vielen lieben Dank!!
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