Z.z. Polyn. interp. Stützst. < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 So 10.02.2013 | | Autor: | davux |
| Aufgabe | Gegeben seien die vier Stützpunkte [mm] $(x_i,y_i),$ [/mm] $i=0,...,3$:
[mm] \vmat{ i & x_i & y_i \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & -3}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass das Polynom [mm] $q_1(x)=5 x^2-22 [/mm] x+23$ die Stützpunkte [mm] $(x_i,y_i)$ [/mm] für $i=0,1,2$ interpoliert.
b) Zeigen Sie, dass das Polynom [mm] $q_2(x)=-4 x^2+23 [/mm] x-31$ die Stützpunkte [mm] $(x_i,y_i)$ [/mm] für $i=1,2,3$ interpoliert.
c) Berechnen Sie aus [mm] $q_1$ [/mm] und [mm] $q_2$ [/mm] das Interpolationspolynom zu den Stützpunkten [mm] $(x_i,y_i)$ [/mm] für $i=0,1,2,3$. |
Wenn ich zeigen soll, dass ein Polynom Stützpunkte interpoliert, sollte es doch reichen, wenn ich die Stützstellen einsetze und dabei die Stützwerte rauskommen? Es ist ja nicht das Verfahren bekannt, womit die Polynome interpoliert worden sind, auch kein besseres Verfahren zur Auswertung, so dass in der Aufgabe doch kein besonderer Reiz liegt?!
Zu Aufgabenteil c) habe ich festgestellt, es reicht ein Schritt aus dem Neville-Algorithmus, nur erklären kann ich es mir nicht so richtig.
$q(x) = [mm] \bruch{(x-x_0)q_2(x)-(x-x_3)q_1(x)}{x_3-x_0}$
[/mm]
Durch Einsetzen habe ich mir das Ergebnis bestätigt. Ist mir etwas entgangen? Kann ich die a) und die b) anders zeigen? Mit welchem Argument funktioniert Neville in Aufgabenteil c)?
Edit: Sry, Stützpunkte vergessen; nachgetragen.
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Hallo davux,
> Gegeben seien die vier Stützpunkte [mm](x_i,y_i),[/mm] [mm]i=0,...,3[/mm]:
>
> [mm]\vmat{ i & x_i & y_i \\
0 & 1 & 6 \\
1 & 2 & -1 \\
2 & 3 & 2 \\
3 & 4 & -3}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass das Polynom [mm]q_1(x)=5 x^2-22 x+23[/mm] die
> Stützpunkte [mm](x_i,y_i)[/mm] für [mm]i=0,1,2[/mm] interpoliert.
> b) Zeigen Sie, dass das Polynom [mm]q_2(x)=-4 x^2+23 x-31[/mm] die
> Stützpunkte [mm](x_i,y_i)[/mm] für [mm]i=1,2,3[/mm] interpoliert.
> c) Berechnen Sie aus [mm]q_1[/mm] und [mm]q_2[/mm] das Interpolationspolynom
> zu den Stützpunkten [mm](x_i,y_i)[/mm] für [mm]i=0,1,2,3[/mm].
> Wenn ich zeigen soll, dass ein Polynom Stützpunkte
> interpoliert, sollte es doch reichen, wenn ich die
> Stützstellen einsetze und dabei die Stützwerte
> rauskommen?
Genau. Ein Polynom löst die Interpolationsaufgabe <--> [mm] $p(x_i) [/mm] = [mm] y_i$ [/mm] für alle vorgegebenen Stützstellen.
> Es ist ja nicht das Verfahren bekannt, womit
> die Polynome interpoliert worden sind, auch kein besseres
> Verfahren zur Auswertung, so dass in der Aufgabe doch kein
> besonderer Reiz liegt?!
Ja. Du sollst einfach nur einsetzen und gucken, dass das richtige rauskommt.
> Zu Aufgabenteil c) habe ich festgestellt, es reicht ein
> Schritt aus dem Neville-Algorithmus, nur erklären kann ich
> es mir nicht so richtig.
>
> [mm]q(x) = \bruch{(x-x_0)q_2(x)-(x-x_3)q_1(x)}{x_3-x_0}[/mm]
>
> Durch Einsetzen habe ich mir das Ergebnis bestätigt. Ist
> mir etwas entgangen?
Nein, alles richtig.
> Kann ich die a) und die b) anders
> zeigen?
Nein.
> Mit welchem Argument funktioniert Neville in
> Aufgabenteil c)?
Zweierlei: 1) Die in a) und b) angegebenen Interpolationspolynome sind die eindeutigen Lösungen vom Grad <= 2. Es gibt keine anderen Polynone vom Grad <= 2, welche diese Punkte interpolieren.
Das Neville-Schema ist gerade so formuliert, dass es in den einzelnen Schritten bereits vollwertige Interpolationspolynome produziert.
siehe Wikipedia: ![[]](/images/popup.gif) Neville-Schema
Hierbei stehen [mm] $p(f|x_0)$ [/mm] für die (eindeutigen) Interpolationspolynome vom Grad <= 1, die [mm] $p(x_0) [/mm] = [mm] y_0$ [/mm] erfüllen usw.
Das bedeutet, in der Aufgabenstellung wurde dir mit (a) und (b) praktisch der vorletzte Schritt des Neville-Schemas vorgegeben.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 So 10.02.2013 | | Autor: | davux |
Na gut. Vielen Dank! Vorallem zur Argumention bei Teil c).
Also ich habe mich eben darangesetzt den Neville-Algorithmus zu programmieren. Es ist wohl ein sehr einfaches Aufgabenblatt. Die zweite und letzte Aufgabe umfasst dieselben Stützpunkte, nur soll man nun einen bestimmten Wert berechnen mithilfe des Neville-Schema. Aus meinem Programm kann ich mir das jetzt auch gut mit der Eindeutigkeit veranschaulichen. Darüber sollte ich mir wohl nochmal Gedanken machen, weil ich zunächst alte Programme angeworfen habe.
Jetzt frage ich mich nur, wie ich das möglichst platzsparend zu Papier bringen kann.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:26 So 10.02.2013 | | Autor: | davux |
| Aufgabe | Stützpunkte wie oben.
Berechnen Sie den Wert des durch die Stützpunkte verlaufenden Interpolationspolynoms an der Stelle [mm] $x=\bruch{3}{2}$ [/mm] mit dem Neville-Schema. |
Kann ich nicht sagen,
"wenn [mm] $q_1$ [/mm] das eindeutig bestimmte Polynom ist, welches die Stützpunkte [mm] $(x_i,y_i)$ [/mm] für $i=0,1,2$ interpoliert, dann lässt sich dies durch das Neville-Schema nachweisen"?
So hätte ich das Schema so weit stehen, wie ich es für Aufgabe 2 bräuchte. Anstelle des Einsetzens würde der Nachweis über das Schema liefern. Widerspruch würde ja auch gehen, "wenn [mm] q_1 [/mm] nicht durch die Stützpunkte verläuft, dann liefert das Neville Schema ein eindeutig bestimmtes Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 2$, welches die Stützpunkte interpoliert".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Studiiiii |
Ich denke die Aufgabe ist es das Neville-Schema einfach einmal komplett anzuwenden.
Ist auch eig. nicht so viel zum rechnen.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mo 11.02.2013 | | Autor: | davux |
Hi Du,
also ich habe nachgefragt, nachdem ich abgegeben habe. Man könnte zum Nachweis für die a) und b) auch zeigen, dass es sich dabei genau um die Polynome handelt, die die drei Stützpunkte interpolieren, indem man Lagrange, wo ich zunächst die falschen Stützpunkte benutzt hatte, oder Neville benutzt und einfach entsprechend Interpolationspolynome mit den Stützstellen bestimmt (Stichwort 'Eindeutigkeit'). Das ist genauso gut wie Einsetzen.
Die Frage wollte ich schon längst zurückziehen. Es bleibt zwar noch etwas Unsicherheit, aber meine Lösungen werden soweit schon in Ordnung sein, auch wenn ich nur eingesetzt habe. Dafür habe ich dann bei der zweiten Aufgabe die Formeln zu Neville allesamt ausgeschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 12.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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