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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 So 26.06.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen! ;)
Ich habe da eine kleine Verständnisfrage.
Und zwar soll ich die drei Folgen auf Z-Transformierbarkeit überprüfen und gegebenenfalls die Z-Transformierte bestimmen.
1) [mm] (\bruch{n²+2n}{2^{n}})_{n}
[/mm]
2) [mm] (\bruch{n+1}{n!})_{n}
[/mm]
3) [mm] ((1+cos(n\pi))n^{n})_{n}
[/mm]
Und eine Folge ist ja Z-transformierbar, wenn R:= [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_{n}} [/mm] < [mm] +\infty
[/mm]
Dann bin ich bei 1) wie folgt vorgegangen:
[mm] \wurzel[n]{\bruch{n²+2n}{2^{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{ \wurzel[n]{(n+2)*n}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{(n+2)^{\bruch{1}{n}}*n^\bruch{1}{n}}{2} \to \bruch{1}{2}
[/mm]
dann wäre [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} =\bruch{1}{2}
[/mm]
Das heißt die Folge ist Z-transformierbar
bei der 2)
[mm] \wurzel[n]{\bruch{n+1}{n!}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^{\bruch{1}{n}}}{n^{\bruch{1}{n}}*(n-1)!} \to \bruch{1}{+\infty}
[/mm]
da geht ja der Zähler gegen eins und der Nenner gegen unendlich. Deswegen ist [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 0
bei der 3)
[mm] \wurzel[n]{(1+cos(n\pi))n^{n}} [/mm] = [mm] (1+cos(n\pi))*n
[/mm]
für n gerade ist der [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
für n ungerade ist der [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 0
Und da wir den lim sup suchen, ist der Grenzwert bei [mm] +\infty
[/mm]
Das heißt nur 1 und 2 sind Z-Transformierbar, aber wie finde ich denn jetzt die Z-Transformierte?
Die ist doch: Z = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_{n}}{z^{n}} [/mm] oder?
Aber muss ich das einfach dann nur hinschreiben? Das wäre ja etwas einfach.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und vielleicht meine Rechnung oben bestätigen.
Viele Grüße
Becks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 So 26.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi Becks!
nur aus Gruenden der Exaktheit:
> bei der 2)
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{n+1}{n!}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)^{\bruch{1}{n}}}{n^{\bruch{1}{n}}*(n-1)!} \to \bruch{1}{+\infty}[/mm]
[mm]\wurzel[n]{\bruch{n+1}{n!}}[/mm] =
[mm]\bruch{(n+1)^{\bruch{1}{n}}}{n^{\bruch{1}{n}}*((n-1)!)^\frac{1}{n}} [/mm]
sollte es doch heissen, oder?
das bringt glaub ich nicht so viel
aber
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty [/mm]
weil
[mm] \sqrt[n]{n!} < \sqrt[2n]{(2n)!} \qquad \forall n \in \IN [/mm]
beweis:
[mm] \sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{1}*\sqrt[n]{2}*\sqrt[n]{3}*...*\sqrt[n]{n} [/mm]
[mm] = \sqrt[2n]{1*1}*\sqrt[2n]{2*2}*\sqrt[2n]{3*3}*...*\sqrt[2n]{n*n} [/mm]
[mm] < \sqrt[2n]{1*2}*\sqrt[2n]{3*4}*\sqrt[2n]{5*6}*...*\sqrt[2n]{(2n-1)*2n} [/mm]
[mm] = \sqrt[2n]{(2*n)!} [/mm]
> bei der 3)
> [mm]\wurzel[n]{(1+cos(n\pi))n^{n}}[/mm] = [mm](1+cos(n\pi))*n[/mm]
[mm]\wurzel[n]{(1+cos(n\pi))n^{n}}[/mm] = [mm]\sqrt[n]{(1+cos(n\pi))}*n[/mm]
also strebt das bei geraden n gegen n.
der Grenzwert ist fuer den ganzen Ausdruck aber trotzdem [mm]+\infty[/mm]
lG
Peter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:24 So 26.06.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo, danke für deine Antwort. :)
(2)
ja, da hatte ich einmal den Exponent vergessen ^^
[mm] \bruch{(n+1)^{\bruch{1}{n}}}{n^{\bruch{1}{n}}\cdot{}((n-1)!)^\frac{1}{n}}
[/mm]
Hmm, aber dann habe ich doch als Grenzwert [mm] \bruch{1}{1}. [/mm] Da sowohl Nenner als auch Zähler gegen 1 gehen oder?
Aber dein Beweis leuchtet mir auch ein. Und durch ausrechnen von ein paar Werten, bekomme ich auch [mm] \wurzel[n]{n!} \to +\infty [/mm] heraus
3)
oh, dieser Fehler ist mir aber jetzt peinlich :)
[mm] \sqrt[n]{(1+cos(n\pi))}\cdot{}n
[/mm]
ok, dann ist für ungerade n die Diskriminante = 0 und bei geraden n, 2. Und wenn n [mm] \to +\infty [/mm] geht, geht die Wurzel gegen 1 für gerades n. und dann habe ich ja 1*n= n ;)
ok! ;)
Hast du vielleicht auch ne Idee wegen der Z-Transformierten?
Auf jeden Fall schon mal vielen Dank für deine Hilfe ;)
Die 1) ist ok?
Viele Grüße
Becks
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 So 26.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi nohmals!
> Die 1) ist ok?
natuerlich, schaut gut aus.
aber mit der z-Transformation kenn ich mich ueberhaupt nicht aus :-(
lG
Peter
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:28 So 26.06.2005 | | Autor: | Becks |
Danke für deine Hilfe ;)
dann bin ich schonmal beruhigt.
Aber kennt sich wer vielleicht mit der Z-Transformierten aus?
MFG Becks :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Mi 29.06.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Becks!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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